§ 2.3. Сферичне тіло

Розглянемо тіло, що має вигляд сфери з порожниною . Приймемо, що до внутрішньої та зовнішньої межі прикладено зусилля .

Рис.2.3.

Рівняння рівноваги на основі рис.2.3 запишеться

.

Деформації визначаються за формулами

,

Закон Гука має вигляд

Врахуємо далі, що . Тоді з першої формули знаходимо

.

Підставимо його в рівняння рівноваги та в другу формулу закону Гука. Тоді отримуємо систему рівнянь

(2.18)

Легко переконатись, що при сталих пружних характеристиках розв’язок системи має вигляд

, .

Сталі С и D визначаємо із граничних умов і .

Звідси маємо

.

Тоді

. (2.19)

Із рівняння рівноваги маємо . Звідси

. (2.20)

§ 2.4. Концентрація напружень біля отворів. Елементарні формули для визначення напружень на межі кругового отвору

Як правило, високий рівень напружень виникає біля отворів, виточок і в інших областях, де має місце швидка зміна геометричних характеристик тіла. Явище істотного локального збільшення напружень в деяких областях тіла називають концентрацією напружень.

Отвори, як правило, є концентраторами напружень в елементах конструкцій. Тому виникає необхідність детального дослідження розподілу напружень біля отворів залежно від їх форми та прикладеного навантаження. На основі таких досліджень визначають рівень допустимих навантажень на елементи конструкцій. На етапі проектування, крім цього, може бути проведено вибір форми отворів з мінімальною концентрацією напружень та рекомендовано матеріал для найбільш навантажених вузлів.

Дослідження напружень біля кругового отвору може бути виконане за допомогою наведеного нижче алгоритму (частковий випадок еліпсу). В той же час для цього випадку розрахунок може бути проведений за допомогою простих формул у довільно навантаженій пластинці.

Розглянемо спочатку допоміжну пластинку, яка наван­тажена вздовж границь та масовими силами (форму та навантаження далі уточнимо). Позначимо область, яку займає ця пластинка через D₀. Приймемо, що відомі напруження в цій пластинці (тобто в області D₀), які позначимо через .

Розглянемо далі випадок, коли в цій пластинці створюється додатковий круговий отвір радіуса R з центром в точці M. При цьому приймемо, що в області, де створюється отвір (у допоміжній пластинці), масові сили відсутні. Тоді кільцеві напруження на границі кругового отвору в точці А знаходяться за елементарною формулою

, (2.21)

де , і відповідно напруження в суцільній пластинці в точці А на площинках, що дотичні до кола радіуса R (границі отвору) та перпендикулярних до них

Перепишемо цю формулу так, щоби в неї входили безпосередньо напружен­ня в допоміжній пластинці в декартовій системі координат. Для цього, викорис­то­вуючи формули для знаходження напружень на нахилених площинках, маємо

.

Тоді формула (2.21) перепишеться

. (2.22)

Пластинка з круговим жорстким включенням радіуса R. На межі розділу напруження визначаються за формулами

, (3.23)

де ,

.

Приклади.

1. Задача Кірша. Розглянемо пластинку великих розмірів з круговим отвором (рис.3.3), яка перебуває в умовах одновісного розтягу зусиллями q вздовж осі Oy (p=0).

Рис.3.3.

Допоміжною для цієї пластинки є суцільна пластинка, яка розтягується зусиллями q вздовж осі Ox. Напруження в допоміжній пластинці будуть:

.

Використовуючи формулу (2.21), знаходимо кільцеві напруження на границі отвору

. (2.24)

Звідси видно, що максимальні напруження на границі рівні

і вони досягаються при і . Мінімальні напруження досягаються при і вони рівні –q. Тобто, в даному випадку максимальні напруження на границі отвору переважають в три рази напруження в пластинці без отвору. Від­ношення цих напружень називають коефіцієнтом концентрації напружень. Заз­на­чимо, що стискувальні напруження в деяких областях границі отво­ру можуть стати причиною локальної втрати стійкості (зокрема, для тонких пластинок).

2. Чистий зсув пластинки з круговим отвором. В цьому випадку в допоміжній пластинці напруження будуть

,

де – зсувні напруження.

Використовуючи тоді формулу (2.21), знаходимо кільцеві напруження:

. (2.25)

Тобто, в даному випадку коефіцієнт концентрації напружень рівний 4.

3. Чистий згин балки (смуги) з круговим отвором.

Розглянемо смугу (балку), яка перебуває в умовах згину моментом M_з. В балці без кругового отвору напруження визначаються за формулою

,

де m=M_з/J, J – момент інерції поперечного перерізу балки.

Нехай тепер в балці створено круговий отвір радіуса R з центром в точці (0,a), причому приймемо, що відстань від центра отвору до границь балки значно переважає радіус отвору (є більшою за 2,5 рази). На основі формули (2.21) тоді маємо

.

Тобто, максимальні напруження досягаються при і коефіцієнти концентрації напружень для цих точок рівні:

або .

ІII. РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ТИПОВИХ ЗАДАЧ ТЕОРІЇ ПРУЖНОСТІ

Задачі теорії пружності, як правило, достатньо складні. Тому далі наведені розв’язки типових задач з використанням ЕОМ. Програми, в основному, складені з використанням системи "Matlab". При цьому для простих задач програми наведені безпосередньо в посібнику. Для складніших задач програми мають достатньо великі розміри, а тому вони зберігаються в окремому каталозі. Складені програми можуть бути викликані безпосередньо із даного тексту, причому вихідні дані можуть задаватись згідно задачі користувача. Вивід результатів розрахунків проводиться також в даний текст.