3.3 Моделі теорії черг (масового обслуговування)

Визначення оптимальної кількості кас, торгових точок, пунктів обслуговування, операторів у банку, а також інші ситуації очікування, аналогічні представленій нами, розглядається теорією черг (теорією масового обслуговування). Аналіз черг (довжина черги, середній час очікування тощо) допомагають забезпечити відповідний запитам споживачів рівень сервісу.

Цілком зрозуміло, що ідеальною, з погляду задоволеності споживачів, є ситуація, коли клієнт не витрачає на очікування своєї черги на обслуговування жодної хвилини. Але не варто забувати і другу, прагматичну частину маркетингу, – отримання прибутку. Отже, скорочення часу обслуговування як складової рівня сервісу має відбуватися на тлі зниження зайвих витрат на обслуговування. Це – паралельні завдання.

Як вирішити цю дилему, пояснює рис.3.3.1 . Оптимальним є варіант, за якого загальні витрати, що складаються з розрахункових витрат очікування і сервісних витрат, є мінімальними.

Рис.3.3.1 - Співвідношення між витратами очікування і сервісними витратами

До витрат очікування відносяться, наприклад, витрати, пов’язані із втратою клієнтів. Незадовільний рівень сервісу це, так би мовити, “втрачена вигода”. Природно, що вдосконалення рівня сервісу призводить до зменшення витрат очікування обслуговування.

Сервісні витрати (витрати обслуговування) за спроби підвищити рівень сервісу навпаки зростають, що може бути пов’язано із залученням частково зайнятих працівників для “розвантаження” черги аеропорту, установку ще одного касового апарата в супермаркеті, збільшення кількості обслуговуючого персоналу на станціях технічного обслуговування автомобілів тощо.

Розглянемо три основні частини черги:

• прибуття;

• дисципліна черги;

• сервісне обслуговування.

Кожна з цих компонент має певні характеристики.

Характеристики прибуття:

• розмір прибуття;

• модель прибуття;

• поведінка прибуття;

Розмір (або джерела ) прибуття може бути обмеженим або необмеженим. Якщо в будь – який момент прибуття відбувається невеликими порціями від потенційної кількості прибуття, розмір прибуття вважається необмеженим. Це – у термінах теорії черг.

У термінах ситуації, що розглядається, необмежений розмір прибуття слід розуміти так: протягом години в середньому десять клієнтів заходять до ресторану. Ця кількість є невеликою часткою від кількості потенційних клієнтів ресторану. До речі, більшість моделей черг припускають саме такі необмежені джерела прибуття.

Модель прибуття в систему. Прибуття клієнтів у систему може здійснюватися за певним розкладом (наприклад, перукар, який має приватну практику, може записати в чергу своїх клієнтів, виділяючи на кожного з них 45 хвилин). Прибуття клієнтів у систему може бути також випадковим, якщо їхню появу не можна точно передбачити.

Ще один варіант. Часто в теорії черг кількість прибуття визначається через розподіл Пуассона. При цьому дискретний розподіл Пуассона визначається за формулою

, для =0, 1, 2, 3, ... , (3.3.1)

де: - імовірність прибуття,

- кількість прибуття в одиницю часу,

- середня кількість прибуття,

= 2,7183 – основа натурального логарифму.

Рис.3.3.2 ілюструє розподіл Пуассона для = 10.

Рис. 3.3.2 - Приклад розподілу Пуассона для = 10

Поведінка прибуття має дві альтернативи:

• моделі черг з очікуванням, тобто клієнти, які застали всі канали обслуговування зайнятими, стають у чергу і очікують, доки їх не обслужать;

• моделі черг із втратами – клієнти, заставши всі канали обслуговування зайнятими, відмовляться приєднатися до черги, оскільки вона є дуже великою і не відповідає їхнім запитам. Інший варіант – клієнт все-таки стає в чергу, але згодом залишає її, не зробивши купівлі.

Характеристика черги:

• довжина;

• дисципліна.

Довжина черги може бути необмежена, якщо немає обмежень на її розмір, або обмеженою, якщо з тих чи інших причин вона не може збільшуватись безкінечно, наприклад, перукар не може обслужити більше 15 клієнтів за зміну тощо.

Крім довжини, чергу характеризують також дисципліна черги, тобто правило, за яким обслуговуються клієнти:

• FIFO – “перший прийшов – перший пішов” або замінник цього терміну – FIFS – “перший прийшов – першого обслужено”;

• LIFS – “останній прийшов – перший обслужений”.

Обслуговування оптових покупців є прикладом дисципліни LIFS: клієнт, який прийшов останнім, обслуговується першим, якщо товар, потрібний цьому клієнту, міститься зверху, а те, що потрібно клієнту, який прийшов першим, – під ним. Більшість систем використовують дисципліну черги FIFO.

Характеристики вузла обслуговування:

• конфігурація системи обслуговування;

• модель часу обслуговування.

Конфігурації системи обслуговування можуть бути охарактеризовані за кількістю каналів як одноканальні і багатоканальні залежно від кількості каналів (каси в супермаркеті), а також залежно від кількості фаз обслуговування – однофазні і багатофазні. Можливі такі конфігурації системи черг:

• одноканальна однофазна система – вас обслуговує один продавець (одноканальна), він же отримує гроші (однофазна);

• одноканальна багатофазна система;

• багатоканальна однофазна система (рис. 3.3.3).

Рис. 3.3.3 - Багатоканальна однофазна система і характеристики основних частин черги (прибуття, дисципліна черги, сервісне обслуговування)

Моделі часу обслуговування. Як і моделі прибуття, моделі обслуговування можуть бути постійні (авто мийка машин) і випадкові.

Ще одне математичне припущення: за умов, що прибуття відбувається за розподілом Пуассона, випадковий час обслуговування описується від’ємним експоненціальним розподілом імовірності (рис. 3.3.4).

Імовірність

1 хвилина

Рис. 3.3.4 - Приклади експоненціального згладжування часу обслуговування

До основних показників, які заміряють стан черги, можна віднести:

• середній час, який витрачає кожен клієнт у черзі, t_чер;

• середня довжина черги, L_чер;

• середній час перебування клієнта в системі (час очікування + час обслуговування), t_очік;

• середня кількість клієнтів в системі (довжина черги), L_очік;

• імовірність того, що вузол обслуговування вільний, P₀;

• імовірність того, що в системі перебуває певна кількість клієнтів, P_n;

• коефіцієнт використання системи, K_вик.

Приклад:

Банк «Аваль» працює 12 годин з 10.00 до 22.00, клієнтів обслуговує чотири оператори, один оператор може обслуговувати протягом години 12 відвідувачів, витрачаючи в середньому 5 хв на кожного. Щогодини банк відвідують 10 клієнтів, які обслуговуються за правилом «перший прийшов – першого обслужено».

При цьому поява клієнтів у банку підпорядковується розподілу Пуассона, а час обслуговування оператором клієнта – від’ємному експоненціальному розподілу ймовірності.

Результати дослідження засвідчують, що клієнти не дуже задоволенні рівнем обслуговування, одна з основних причин - “багато часу доводиться очікувати своєї черги” Аналіз свідчить , що втрати в термінах незадоволеності клієнтів становлять 6 грн на годину.

Слід прийняти рішення про доцільність збільшення кількості обслуговуючого персоналу з огляду на скорочення часу очікування клієнтами обслуговування та витрат, які супроводжують цей крок.

Отже, в ситуації розглядається одноканальна модель черги з розподілом Пуассона. Підсумуємо припущення, які стосуються цього типу систем:

• клієнти обслуговуються за правилом FIFO;

• прибуття клієнта відбувається незалежно від попереднього прибуття, але середня кількість прибуття протягом певного часу не змінюється;

• прибуття клієнтів описується розподілом Пуассона і становить невелику частку від великої кількості потенційних клієнтів;

• час, протягом якого обслуговується кожен клієнт , різний і не залежить один від одного, але середній час обслуговування відомий;

• час обслуговування підпорядковується експоненційному закону розподілу імовірності;

• час обслуговування менший за час між прибуттями.

1 Передусім розрахуємо за наведеними даними середню кількість клієнтів, які перебувають у системі

де: L_очік – середня кількість одиниць (клієнтів) в системі;

І – середня кількість прибуття клієнтів за період часу (протягом години) до банку;

m – кількість клієнтів, які обслуговуються протягом певного періоду часу (години).

Оскільки

І = 10 клієнтів,

m = 12 клієнтів,

2 Середній час, який клієнт перебуває в системі (час очікування + час обслуговування)

3 Середня кількість клієнтів у черзі на обслуговування (середня довжина черги)

4 Середній час, який клієнт проводить, очікуючи своєї черги

5 Коефіцієнт використання системи

Отже, оператор зайнятий протягом 83% часу.

6 Визначимо імовірність к клієнтів в системі. Імовірність 0 клієнтів у системі

Тоді імовірність того, що в банку є клієнти, дуже висока і становить 83%

Тепер розрахуємо імовірність того, що в системі більше, ніж к клієнтів (очікують своєї черги або обслуговуються більше, ніж к клієнтів (P_n>к)

Кількість клієнтів, к	Імовірність того, що очікують своєї черги або обслуговується більше к відвідувачів банку
0	0,83
1	0,69
2	0,58
3	0,48
4	0,40
...	...
8	0,19
...	...
11	0,11
12	0,10
13	0,08

Отже, імовірність, що в системі перебувають (очікують своєї черги або обслуговуються) 4 клієнти, становить 40%, 8 клієнтів – 19% і т.ін.

Переступаючи поріг банку, клієнт бачить чергу з п’яти відвідувачів (L_очік), із них один обслуговується, а четверо (L_чер) очікують своєї черги.

Він займає чергу, але обслуговується лише за півгодини (t_очік), провівши в черзі (t_чер) 25 хвилин.

Втрати в термінах незадоволеності споживача оцінюються як 6 грн на годину. Час, протягом якого клієнт очікує в черзі, (t_чер) – 25 хвилин. Кількість клієнтів на годину – 10 осіб, банк працює протягом 12 годин. Отже, за день банк відвідають 120 клієнтів. Не важко підрахувати, що загальні витрати клієнтів на очікування становлять

Щодо другої складової загальних витрат сервісні витрати становлять 28 грн.

Тобто, загальні розрахункові витрати на день становитимуть

У цьому випадку йдеться про багатоканальну модель черг . Усі припущення, зроблені вище, залишаються в силі: прибуття клієнтів відбувається за розподілом Пуассона імовірності, час обслуговування має експоненціальний розподіл, а обслуговування ведеться за правилом “перший прийшов – перший пішов”.

Наша мета на цьому етапі – з’ясувати, чи справді багатоканальна система, за якою клієнт очікує своєї черги, поки один з операторів не звільниться, є вигіднішою. Для цього треба порівняти розрахункові дані, отримані вище, із відповідними розрахунками для двоканальної системи обслуговування.

Імовірність того, що клієнт перебуває в системі для багатоканальної моделі черг, розраховується за формулою

де М – кількість відкритих каналів (кас у магазині, операторів у банку).

Для М=2 імовірність того, що клієнт перебуває в системі, дорівнює

Середня кількість клієнтів у системі (перебувають у черзі або обслуговуються)

Середній час очікування в системі (час очікування черги або обслуговування)

Середня кількість клієнтів у черзі

тобто, черги практично немає, а середній час, який клієнт проводить в черзі

Порівняємо отримані дані за умови, що клієнтів обслуговує один оператор (одноканальна модель) і два оператори (багатоканальна модель)

Змінні	Одноканальна модель (М=1)	Двоканальна модель (М=2)
P0	0,17	0,41
Lочік	5 клієнтів	1 клієнт
tочік	30 хвилин	6 хвилин
Lчер	4 клієнти	черги немає
tчер	25 хвилин	1 хвилина

Як свідчать отримані дані, в другому варіанті черги в банку практично немає, а середній час очікування обслуговування становить 6 хвилин, із них 1 хвилину клієнт проводить у черзі і 5 хвилин його обслуговують. Оптимум (рис. 3.3.1) у цьому випадку досягається за умови, що клієнтів обслуговують два оператори. Подальше збільшення кількості персоналу, безпосередньо зайнятого обслуговуванням клієнтів, не виправдане.

Економія на витратах, пов’язана з незадоволеністю клієнта, становить 300 грн. Сервісні витрати збільшаться на 360 грн на місяць, або на 12 грн на день на заробітну плату ще одного оператора, а загальні витрати на день становитимуть

грн

Слід збільшити кількість обслуговуючого персоналу банку, прийнявши на роботу ще одного оператора. При цьому сервісні витрати збільшаться на 12 грн на день, але загальні витрати зменшаться з 328 грн до 40 грн за рахунок зменшення витрат очікування клієнтів, які при обслуговуванні клієнтів одним оператором становлять 300 грн. Цей захід дасть змогу підвищити стандарти обслуговування: “у середньому клієнт банку за шість хвилин обслуговується”.

Розглянемо одну із найпростіших систем масового обслуговування , що моделює виробничу систему. Система складається з n ліній або каналів чи пунктів обслуговування. Під пунктами/лініями обслуговування мають на увазі як підприємства побутового обслуговування (універсами, перукарні, торгові точки, каси з продажі квитків і т.п.), так і промислові підприємства або виробничі підрозділи. В останньому випадку це будуть спеціалізовані виробничі структури, що виконують роботи з ремонту техніки, транспортне обслуговування, пуско-налагоджувальні роботи на об”єктах і т.п. В бурінні глибоких свердловин – це, насамперед, геофізичні партії з дослідження свердловин, а також бази виробничого обслуговування з ремонту та профілактики бурової техніки. У нафтогазовидобутку – це бригади з капітального ремонту свердловин.

Всі ці системи виробничого або ж побутового обслуговування характеризуються надходженням заявок на обслуговування : кількістю клієнтів, що бажає купити деякий товар чи квитки, кількістю свердловин, готових для геофізичних досліджень, кількістю свердловин, що вимагає капітального ремонту, кількістю бурового обладнання, що вимагає механічного ремонту і т.п.

У систему надходять заявки, причому моменти надходження цих заявок випадкові. Кожна заявка спочатку надходить на лінію №1 (цех, геофізична партія, база виробничого обслуговування, магазин і т.п.). Якщо у момент T_k надходження деякої k-ої заявки лінія вільна, то вона приступає до обслуговування заявки. Час обслуговування триває t_o хвилин. Якщо у момент часу T_k лінія №1 зайнята, то заявка миттєво передається на лінію №2 і так далі. Якщо всі n ліній в момент T_k зайняті, то система видає відмову.

Необхідно визначити, скільки в середньому заявок обслуговуватиме система за час Т і скільки відмов вона видасть, а також, які витрати виникнуть у зв”язку із обслуговуванням системою заявок та які втрати можливі у зв”язку із простоями “клієнтів” у черзі. Під “клієнтами” тут мається на увазі бурове обладнання, свердловини, покупці і т.п. Якщо у черзі на ремонт буде довго знаходитись бурове обладнання, або ж свердловини, то це може обернутися значними втратами для підприємства. Тому необхідно також розрахувати таку кількість ліній обслуговування, при якій з одного боку забезпечується мінімум витрат на утримання цієї лінії, але з другого боку – досягається максимальний ефект при тому чи іншому виді обслуговування.

Для відповіді на ці запитання необхідно дослідити потік заявок, які надходять у систему масового обслуговування.

Найпростішим потоком (потоком Пуассона) називається такий потік заявок, коли проміжок часу τ між двома послідовними заявками є випадковою величиною, розподіленою в інтервалі (0, ∞) із щільністю розподілу, що відповідає , як уже було сказано вище експоненціальному закону (закону Пуассона)

.

Із даного закону легко вирахувати математичне сподівання τ

.

Після інтегрування по частинах (u = x, ) отримаємо

,

де параметр а називається щільністю потоку заявок, тобто це кількість заявок, що надійшли за одиницю часу.

Обернена величина 1/а є середнім часом (математичним сподіванням) інтервалу між надходженням двох суміжних заявок . Найпростіший потік характеризується:

стаціонарністю (ймовірність надходження заявок за час t залежить тільки від величини часу t і не залежить від виникнення цього часу на деякому часовому відрізку – доби, сезону, року і т.п.);

відсутністю післядії (кількість заявок, що надходить у систему не залежить від характеру надходжень попередніх заявок);

ординарністю (одночасне надходження двох і більше заявок малоймовірне).

Якщо розглядати k вимог, що надійшли у систему за час від 0 до t, то ймовірність p_k(t) надходження цих вимог буде розрахована за формулою, аналогічною (3.3.1)

, (3.3.2)

де  - щільність потоку заявок; k = 0,1,2, ......

Іншим параметром, що характеризує систему обслуговування, є інтенсивність обслуговування  - це кількість обслуговувань, яка може бути виконана даною лінією обслуговування за одиницю часу. Обернена величина є середньою тривалістю обслуговування однієї заявки, що визначається в результаті статистичних спостережень, тому

, (3.3.3)

де Т_о – час обслуговування однієї заявки.

Важливим параметром системи обслуговування є приведена щільність потоку заявок 

. (3.3.4)

Якщо заявки надходитимуть у систему обслуговування з щільністю, рівною наприклад, трьом заявкам на годину (=3), а лінія буде обслуговувати тільки одну заявку за годину ( =1), то у системі обслуговування виникатиме черга, яка матиме тенденцію до необмеженого росту. Щоб не допустити цього, необхідно мати не один, а декілька каналів обслуговування. Якщо n – кількість каналів обслуговування, то можливі два випадки:

 n – черга зростає необмежено,   n – режим обслуговування характеризується стабільними часовими параметрами. Перший випадок у теорії черг практично не розглядають.

З точки зору розгляду дисципліни черги системи обслуговування ділять на системи з відмовами, з очікуваннями та змішані. В промисловості, у тому числі нафтогазовій галузі, найбільш адекватними є системи з очікуваннями, тобто, заявка на обслуговування, що надійшла в систему, коли та зайнята, стає в чергу і очікує на звільнення лінії обслуговування.

Розрахунок найпростішої системи масового обслуговування виконаємо у програмному забезпеченні Mathcad 2001 Pro.

Приклад. Встановити норму чисельності бригади слюсарів, що зайняті на обслуговуванні 30 верстатів. У результаті спостережень та досліджень отримали такі відомості. Середня кількість заявок щодо ремонту, які надходять за 1 годину від кожного верстата становить 0.416; середній час обслуговування одного верстата – 0.216 годин; середня протяжність інтервалу між двома послідовними заявками на обслуговування – 2.016 годин. Втрати від однієї години простою одного верстата становлять 50 грн, а вартість однієї години роботи одного робітника – 10 грн.