2.5.2. Пример работы программ.

Все программы данного раздела представлены в виде функций, для работы которых требуется ввод линейного уравнения (в виде функции «f»), промежутка интегрирования и точности .

Пусть требуется найти интеграл функции на отрезке с точностью методом трапеций. Тогда упрощенная программа будет выглядеть следующим образом:

Код программы

program Ninteg;

{Интегрируемая функция}

function f(x: real): real;

begin

f:=cos(x*x);

end;

{Функция метода трапеций}

begin

{a,b -границы интегрирования; n-отрезок разбиения. Вывод интеграла: writeln('X',функция(a,b,n));}

writeln('Int=',mtrpezi(1,5,500));

readln;

end.

Вывод программы: .

В данном случае, для достижения поставленной точности мы разбили отрезок на 500 частей. Точное значение данного интеграла:

Стоит отметить, что решение систем линейных уравнений другими методами будет проходить так же, только необходимо произвести замену нужной функции в программе в программе.

Любая функция раздела вызывается с 3 параметрами: a,b –пределы интегрирования и – количество отрезков разбиения. При вызове с данными параметрами функция возвращает интеграл от заданной функции на отрезке.

В методе Симпсона в качестве последнего параметра в функцию передается требуемая точность вычисления интеграла , а не количество отрезков разбиения как во всех остальных функциях раздела.

3. Решение систем линейных уравнений.

Методы решения систем линейных уравнений можно разделить на три группы: точные (Крамера, Гаусса, и др.), итерационные (простых итераций, Зейделя) и специальные (прогонки). В этом разделе изложены итерационные методы, т.к. точные методы очень полно излагаются в курсе высшей математики, а специальные применяются для систем специфического характера.

Рассмотрим систему из линейных уравнений вида:

Разрешив первое уравнение относительно второе - относительно и т.д., получим:

Правые части уравнений последней системы можно рассматривать как функции от неизвестных переменных , ,…, , и тогда систему можно представить в виде:

3.1. Метод простых итераций.

3.1.1. Расчётная схема.

Если задать начальные приближения , , то следующие приближения к неизвестным будут получены подстановкой начальных приближений в правую часть преобразованной системы

,

где приближения, полученные на k-м шаге итерации.

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока значения меньше заданной точности для всех . Последние полученные приближения являются решением системы уравнений с точностью .

Для применения метода итераций существенным является требование сходимости последовательности приближений к решению системы.

Условие сходимости для применения итерационных методов.

Итерационный процесс сходится, если сумма отношений модулей коэффициентов каждой строки к диагональному коэффициенту будет строго меньше единицы:

,

Неравенство будет справедливо, если диагональные элементы системы удовлетворяют условию:

,

Выбор начальных приближений не влияет на условие сходимости, поэтому можно полагать их равными нулю: ( , ) или отношениям свободных коэффициентов к диагональным коэффициентам: ( , )

Пример. Решить систему уравнений методом итераций с точностью = 0.005.

В системе первое уравнение имеет преобладающий коэффициент при неизвестном , а второе - при , а в третьем уравнении такого нет. Сложив первое и третье уравнение системы, можно получить преобладающий элемент при . Переставив уравнения так, чтобы по диагонали стояли преобладающие элементы, получим:

Условия сходимости для коэффициентов преобразованной системы выполняются, т.к. ; ; .

Разрешив уравнения относительно неизвестных, запишем:

Выберем начальные приближения ; ; , тогда:

Дальнейшие итерации дадут значения приближений: , , . Последнее приближение можно считать решением системы с точностью =0.005, т.к. .