5.1.3. Интерполяция Лагранжа.
5.1.3.1. Расчётная схема.
Более точное значение у интерполяционных многочленов, использующих функции в качестве примера приведем формулу интерполяционного многочлена Лагранжа
5.1.3.2. Блок-схема.
|
5.1.3.3. Программа. procedure lagrange(v: real); var i,j: integer; yn,p1,p2: real; begin yn:=0; for i:=1 to n do begin p1:=1; p2:=1; for j:=1 to n do begin if j<>i then begin p1:=(v-x[j])*p1; p2:=(x[i]-x[j])*p2; end; end; yn:=yn+y[i]*p1/p2; end; writeln('X=',v,' Y=',yn); end; |
5.1.4. Примеры. Для функции, заданной таблично
X |
1 |
2 |
3 |
5 |
Y |
9 |
26 |
58 |
194 |
найти
значение
в точке
методами локальной, линейной и квадратичной
интерполяции, а также используя многочлен
Лагранжа.
Решение:
1) Используя формулу локальной линейной интерполяции получим:
2) Для квадратичной зависимости составим систему линейных уравнений:
Решение этой
системы дает значения
;
;
.
Таким образом
3) Многочлен Лагранжа выглядит следующим образом:
Стоит отметить, что последний результат наиболее точно соответствует данной зависимости.
5.2.
Аппроксимация.
Построение полного интерполяционного
полинома требует определения его
коэффициентов, число которых равно
количеству заданных точек. При большом
числе экспериментальных данных (
)
хранение информации о коэффициентах
также затруднительно, как в хранение
самих данных. В этих случаях ставится
вопрос о нахождении функции
зависящей
от параметров, число которых значительно
меньше количества заданных точек (
).
Аппроксимирующая функция часто ищется
в виде полинома
,
для нахождения коэффициентов которой используется следующий критерий:
функционал
должен принимать наименьшее значение (метод наименьших квадратов).
Необходимым
условием минимума указанного критерия
является равенство нулю всех частных
производных функции
по параметрам
5.2.1. Линейное приближение методом наименьших квадратов.
Пусть аппроксимирующая функция является линейной относительно , т.е.
В этом случае критерий принимает вид:
Условия минимума
значения
приводят
к системе линейных уравнений:
,
решение
которой позволяет определить неизвестные
параметры
и
.
Пример. Определить линейную зависимость для функции, заданной таблично:
таблично:
|
|
|
|
|
|
|
5 |
6 |
10 |
11 |
13 |
Решение.
Для определения неизвестных параметров
функции
составим систему уравнений
Решение данной
системы позволяет найти значения
,
и указать линейную зависимость:
5.2.3. Аппроксимация полиномом.
5.2.3.1. Расчётная схема.
Пусть искомая функция является полиномом:
и
условия минимума значения
приводят
к системе
линейных уравнений:
Решение данной
системы позволяет найти неизвестные
коэффициенты
,
,…,
и определить функциональную зависимость.
В частности, при m=2
получится
параболическая зависимость.
5.2.3.2. Блок-схема.
5.2.3.3. Программа.
procedure aproxym(v: real);
var
i,j,stp: integer;
tmp: double;
begin
for i:=1 to k do
begin
stp:=i-1;
for j:=succ(k)downto 1 do
begin
if j=k+1 then
matrix[i,j]:=sumstep(0,n,i)
else
begin
if (j=k)and(i=1) then
matrix[i,j]:=n+1
else
matrix[i,j]:=sumstep(stp,n,0);
stp:=stp+1;
end;
end;
end;
gauss;
tmp:=0;
for i:=1 to k do
begin
tmp:=tmp+smatrix[i]*exp((k-i)*ln(v));
smatrix[i]:=0;
end;
writeln('X=',v,' Y=',tmp);
end;