5.2. Математическая статистика

Имеются статистические данные об объемах лесных грузов, в тыс.куб.м, перевозимых еженедельно от лесозаготовительных к деревообрабатывающим предприятиям: .

Требуется произвести первичную обработку данных методами математической статистики. Для этого необходимо:

• составить статистический ряд,

• для каждого частичного интервала определить частоты, относительные частоты, накопленные частоты, накопленные относительные частоты,

• построить полигоны, кумуляты и гистограмму,

• определить выборочные характеристики статистического распределения.

Метод решения задачи рассмотрен в [1], [8], [15].

Пример. Решить задачу для следующих статистических данных:

38, 43, 54, 84, 32, 53, 59, 39, 72, 56, 93, 55, 48, 56, 26, 43, 37, 64, 42, 37, 34, 43, 46, 45, 86, 32, 96, 36, 28, 69, 42, 34, 50, 75, 59, 59, 44, 87, 61, 34, 49, 42, 64, 47, 46, 64, 42, 57, 54, 79, 51, 67.

Решение. Имеем выборку объемом n=52 из генеральной совокупности X, представляющей собой еженедельный объем лесных грузов.

Среди элементов выборки определим минимальное и максимальное значения: , . Уменьшим и увеличим до "хороших" чисел, и возьмем несколько больший промежуток от 20 до 100. Вычислим размах выборки .

Количество групп (частичных интервалов) k определим по формуле k=[5lgn]=[5lg52]=[51,716]=8. Длину интервала найдем по формуле

Определим границы частичных интервалов:

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Для каждого i-го интервала найдем число выборочных значений (частоту), попавших в данный интервал. В графе штрих-лист (табл.2) для каждого выборочного значения проставляется "черта". Их количество и равно соответствующей частоте . Если некоторый элемент выборки попадает на границу интервала, то "черта" ставится в левый интервал.

Относительные частоты равны отношениям , накопленные частоты определяются по формулам , а накопленные относительные частоты равны . Полученные данные заносятся в табл.2.

Таблица 2

Таблица распределения частот

Группа	Левая граница	Правая граница	Штрих-лист	Середина	Частота	Отн. частота	Нак. частота	Нак.отн.частота
1	20	30	//	25	2	0,0385	2	0,0385
2	30	40	//////////	35	10	0,1923	12	0,2308
3	40	50	///////////////	45	15	0,2885	27	0,5192
4	50	60	///////////	55	11	0,2115	38	0,7308
5	60	70	//////	65	6	0,1154	44	0,8462
6	70	80	///	75	3	0,0577	47	0,9038
7	80	90	///	85	3	0,0577	50	0,9615
8	90	100	//	95	2	0,0385	52	1,0000

В таблицу включен еще столбец со средними значениями каждого интервала .

Полигоны представляют собой графическую зависимость частот (относительных частот) от середин интервалов (рис.2).

Р ис.2. Полигон частот

К умуляты представляют собой графическую зависимость накопленных частот (накопленных относительных частот) от середин интервалов (рис.3).

Рис.3. Кумулята частот

Гистограмма есть графическое изображение зависимости плотности относительных частот от соответствующего интервала группировки (рис.4).

Р ис.4. Гистограмма выборки

Определим выборочные характеристики статистического распределения. Выборочное среднее, выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение определим по формулам

, , . (1)

Подставляя числовые значения, получим

,

,

.

Таким образом, средний еженедельный объем перевозок лесных грузов составляет тыс.куб.м. Выборочная дисперсия (тыс.куб.м) . Выборочное среднее квадратическое отклонение тыс.куб.м.

Рассмотрим решение задачи в среде Microsoft Excel. Статистические данные помещаются в ячейках A2:H7;A8:D8, как показано в табл.3.

В ячейке A12 содержится объем выборки, равный 52. В ячейках B11 и C11 рассчитываются максимальное и минимальное значения статистических данных в соответствии с формулами:

=МАКС(A2:H7;A8:D8)

и

=МИН(A2:H7;A8:D8).

Округленные значения записываются в ячейки B12 и C12 соответственно. В ячейке D12 рассчитывается размах выборки по формуле

=B12-C12.

Т аблица 3

Количество групп k=8 записывается в ячейку E12. В ячейке F12 длина интервала рассчитывается по формуле

=D12/E12.

Далее производится заполнение таблицы распределения частот. После заполнения ячеек A15:D22 следует выделить ячейки E15:E22 и обратиться к функции "Частота", указав прямоугольный массив данных A2:H8 и массив правых границ интервалов:

{=ЧАСТОТА(A2:H8;C15:C22)}.

Одновременное нажатие клавиш Ctrl+Shift+Enter приведет к заполнению выделенных ячеек E15:E22. Содержимое ячеек F15:H22 рассчитывается в соответствии с формулами, приведенными выше.

С помощью мастера диаграмм строятся необходимые графики: полигон частот, кумулята частот и гистограмма (рис.2,3,4).

Далее в ячейках A26:C26 рассчитываются значения статистических характеристик, которые определяются по выборке в соответствии с формулами:

• выборочное среднее =СРЗНАЧ(A2:H7;A8:D8),

• выборочная дисперсия =ДИСП(A2:H7;A8:D8),

• выборочное среднее квадратическое отклонение =КОРЕНЬ(B26).

Заметим, что характеристики, полученные ранее по формулам (1) с использованием группировки данных, лишь приближенно равны характеристикам, рассчитанным по программе без группировки данных.