5.4. Задача о выпуске продукции при неопределенном спросе

В результате производства и реализации единицы продукции A₁, A₂, A₃ завод получает чистый доход, зависящий от спроса на продукцию, который может принимать одно из состояний B₁, B₂, B₃, B₄, заранее неизвестно, какое именно. Возможные значения дохода представлены платежной матрицей. В каких пропорциях следует выпускать продукцию A₁, A₂, A₃, чтобы гарантировать максимальный чистый доход при любом состоянии спроса. Для этого необходимо

• представить задачу о выпуске продукции как матричную игру предприятия с "природой", считая спрос на продукцию полностью неопределенным,

• произвести упрощение платежной матрицы, используя принцип доминирования,

• найти оптимальные стратегии игроков и цену игры,

• определить оптимальные пропорции в выпускаемой продукции с целью получения максимальной выгоды предприятию,

• определить наиболее выгодный для завода вид продукции, используя критерии Лапласа, Вальда и Сэвиджа.

Начальные сведения по теории матричных игр приведены в [10] и [11].

Пример. Найти оптимальное поведение предприятия по выпуску продукции на основе данных, содержащихся в табл.5.

Таблица 5

Платежная матрица

Продукция	Доход в зависимости от спроса на продукцию, у.е.
	B1	B1	B2	B3
A1	6	4	8	4
A2	7	7	9	4
A3	8	5	7	6

Решение. Будем рассматривать поставленную задачу как матричную игру двух лиц: с одной стороны, завод (игрок A), который может выпускать продукцию A₁, A₂, A₃ (три чистых стратегии), с другой стороны «природа» (игрок B), имеющая четыре возможных состояния спроса на продукцию B₁, B₂, B₃, B₄ (четыре чистых стратегии).

Пусть - оптимальная стратегия игрока A, а - оптимальная стратегия игрока B. Согласно принципу доминирования стратегию A₁ следует исключить из рассмотрения, так как в платежной матрице все элементы первой строки не превосходят соответствующих элементов второй строки. Это значит, что . В результате получим матрицу

	B1	B2	B3	B4
A2	7	7	9	4
A3	8	5	7	6

Элементы 1-го и 3-го столбцов доминируют над элементами 2-го столбца, поэтому их также можно исключить из дальнейшего рассмотрения и положить . Это объясняется тем, что ищется гарантированный доход, который может образоваться при самом неблагоприятном для завода состоянии спроса. В результате получим платежную матрицу размерности 2x2:

	B2	B4
A2	7	4
A3	5	6

Дальнейшее упрощение платежной матрицы уже невозможно. Оптимальная стратегия игрока A определяется следующим образом: от элементов 1-го столбца вычитаются соответствующие элементы 2-го столбца, и получившиеся разности берутся по абсолютной величине. Получим столбец . Вероятности стратегий обратно пропорциональны элементам этого столбца, то есть , .

Оптимальная стратегия игрока B определяется следующим образом: от элементов 1-ой строки вычитаются соответствующие элементы 2-ой строки, и получившиеся разности берутся по абсолютной величине. Получим строку . Вероятности стратегий обратно пропорциональны элементам этой строки, то есть , .

Определяем цену игры по любой из 4-х формул:

,

,

,

.

Таким образом, получили оптимальные стратегии игроков: , .

Следовательно, продукция A₁ не должна выпускаться, продукции A₂ должно выпускаться , продукции A₃ должно выпускаться от общего объема. Тогда от выпуска единицы продукции заводу гарантирован максимальный средний доход у.е. Наиболее неблагоприятной для завода является спрос B₂ и B₄. Для любого другого состояния спроса средний доход завода будет больше, чем .

Рассмотрим критерии Лапласа, Вальда и Сэвиджа. Чтобы применить критерий Лапласа, предположим, что любое состояние спроса является равновероятным, то есть . Тогда в случае применения стратегии A₁ доход равен , в случае применения стратегии A₂ доход равен , а в случае применения стратегии A₃ доход равен . Таким образом, оптимальной по Лапласу является стратегия A₂, приносящая максимальный средний доход, равный у.е. Значит, предполагая спрос равномерным, следует выпускать только продукцию A₂.

Критерий Вальда является критерием крайнего пессимизма, так как игрок A исходит из предположения, что спрос на продукцию действует против него наихудшим образом. Поэтому, применяя стратегию A₁, можно рассчитывать только на получение дохода равного наименьшему из чисел 1-й строки платежной матрицы , в случае применения стратегии A₂ можно рассчитывать на получение дохода , а в случае применения стратегии A₃ можно рассчитывать на получение дохода . Следовательно, оптимальной по Вальду является стратегия A₃, приносящая максимальный средний доход, равный у.е. Это означает выпуск продукции A₃.

Рассмотрим критерий Сэвиджа. Для этого построим матрицу рисков (табл.6) в соответствии с формулами

, где .

Таблица 6

Матрица рисков

Продукция	Величина риска в зависимости от спроса на продукцию, у.е.
	B1	B1	B2	B3
A1	2	3	1	2
A2	1	0	0	2
A3	0	2	2	0

Критерий Сэвиджа также есть критерий крайнего пессимизма только по отношению к матрице рисков. Применяя стратегию A₁, можно ожидать, что игрок A понесет потери, равные наибольшему из чисел 1-й строки матрицы рисков . Для стратегий A₂ и A₃ можно ожидать, что потери составят соответственно и . Отсюда следует, что оптимальными по Сэвиджу являются стратегии A₂ и A₃, приносящие заводу минимальный риск, равный у.е.

Рассмотрим решение задачи в среде Microsoft Excel. Воспользуемся определениями оптимальных стратегий игроков.

Стратегия игрока A является оптимальной, если функция достигает максимальное значение при условиях , . Стратегия игрока B является оптимальной, если функция достигает минимальное значение при условиях , .

Элементы платежной матрицы поместим в ячейках B2:E4, как показано в табл.7.

Таблица 7

Пусть в ячейках G2:G4 располагаются вероятности применения чистых стратегий игроком A, а в ячейках B6:E6 - вероятности применения чистых стратегий игроком B. Эти ячейки пока пустые.

В ячейку G5 поместим формулу =СУММ(G2:G4), означающую, что в ней содержится . В ячейку F6 поместим формулу =СУММ(B6:E6), означающую, что в ней содержится .

В каждую ячейку блока B8:E8 записывается сумма произведений соответствующего столбца платежной матрицы на вероятности применения игроком A чистых стратегий, то есть

B8=СУММПРОИЗВ(B2:B4;G2:G4),

C8=СУММПРОИЗВ(C2:C4;G2:G4),

D8=СУММПРОИЗВ(D2:D4;G2:G4),

E8=СУММПРОИЗВ(E2:E4;G2:G4).

В ячейку F8 помещается минимальное из чисел , то есть F8=МИH(B8:E8).

Аналогично, содержимым каждой ячейки I2:I4 является сумма произведений соответствующей строки платежной матрицы на вероятности применения игроком B чистых стратегий, то есть

I2=СУММПРОИЗВ(B2:E2;B6:E6),

I3=СУММПРОИЗВ(B3:E3; B6:E6),

I4=СУММПРОИЗВ(B4:E4; B6:E6),

В ячейку I5 помещается максимальное из чисел , то есть I5=МАКС(I2:I4).

Д алее следует обратиться к процедуре "Поиск решения" пункта меню "Сервис". В появившемся окне следует заполнить графы, как это показано на рис.8, и нажать кнопку "Выполнить".

Рис.8.

Затем надо снова обратиться к процедуре "Поиск решения", заполнить графы, как показано на рис.9 и нажать кнопку "Выполнить".

Р ис.9.

В результате этих действий будет произведен расчет оптимальных стратегий игроков, и будет получена табл.8.

Таблица 8

Из табл.8 находим: в ячейках G2:G4 оптимальную стратегию игрока A, в ячейках B6:E6 оптимальную стратегию игрока B, в ячейках I5 и F8 цену игры .