Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины. Правило трех сигм.
Известно,
что если случайная величина X задана
плотностью распределения
,
то вероятность того, что X
примет значение, принадлежащее интервалу
(a,b), такова:
.
Пусть случайная величина X распределена по нормальному закону. Тогда
.
Преобразуем
эту формулу так, чтобы можно было
пользоваться готовыми таблицами. Введем
новую переменную
.
Отсюда
.
Найдем
новые пределы интегрирования. Если
,
то
,
если
,
то
.
Тогда
.
Выражение
,
входящее в эту формулу, является функцией
верхнего предела X, которая называется
функцией Лапласа или интегралом
вероятностей и обозначается Ф(x). В
результате получаем:
Ф
—
Ф
,
где Ф(x)
=
.
Эту формулу называют формулой Лапласа.
Если
случайная величина X является признаком
генеральной совокупности, то формула
Лапласа дает долю элементов генеральной
совокупности, у которых значение признака
X находится в границах от
до
.
Интеграл,
через который выражается функция
Лапласа, нельзя выразить через элементарные
функции. Его можно представить в виде
степенного ряда, если разложить в ряд
подынтегральную функцию
и почленно проинтегрировать ряд. Тогда
Ф(x) = 
.
C помощью этого ряда можно вычислить значение Ф(x) для любого x с любой точностью. Составлены специальные таблицы значений функции Лапласа.
Отметим ряд свойств функции Лапласа, полезных для применения.
1. Функция Ф(x) – нечетная, т. е. Ф(-x) = –Ф(x).
2. Функция
Ф(x) – возрастающая, быстро приближающаяся
к своему пределу, равному 0,5: Ф(0) = 0,
Ф(1) = 0,3413, Ф(2) = 0,4772, Ф(3) = 0,4986,
Ф(4) = 0,4999 и т.д. На практике полагают
Ф(x) 
для x>5.
Правила двух и трех сигм |
Если в формуле (1) принять последовательно d = 2s и d = 3s, то получим:
Правило двух сигм. Почти достоверно (с доверительной вероятностью 0,954) можно утверждать, что все значения случайной величины X с нормальным законом распределения отклоняются от ее математического ожидания M(X) = a на величину, не большую 2s (двух средних квадратических отклонений). Доверительной вероятностью Pд называют вероятность событий, которые условно принимаются за достоверные (их вероятность близка к 1). При решении вопросов, требующих большей надежности, когда доверительную вероятность принимают равной 0,997, вместо правила двух сигм, согласно формуле (3), используют правило трех сигм.
Вероятность
условно невозможных значений называют
уровнем значимости случайной величины.
Уровень значимости связан с доверительной
вероятностью формулой
где q – уровень значимости, выраженный в процентах. Согласно правилу трех сигм при доверительной вероятности 0,997 критической областью будет область значений признака вне интервала (а-3s, а+3s). Уровень значимости составляет 0,3%. Уровень значимости принимают различным в зависимости от дозволенной степени риска. В текстильной и швейной промышленности его принимают равным 5%. С помощью правила двух (или трех) сигм можно определить общий интервал изменения той или иной случайной величины с нормальным законом распределения.
|
(2)
(3)
Проиллюстрируем
правило двух сигм геометрически. На
рис. 6 изображена кривая Гаусса с
центром распределения а.
Площадь, ограниченная всей кривой и
осью Оx, равна 1 (100%), а площадь криволинейной
трапеции между абсциссами а–2s и а+2s,
согласно правилу двух сигм, равна
0,954 (95,4% от всей площади). Площадь
заштрихованных участков равна
1-0,954 = 0,046 (»5% от всей площади). Эти
участки называют критической областью
значений случайной величины. Значения
случайной величины, попадающие в
критическую область, маловероятны и
на практике условно принимаются за
невозможные.
= 1-
,