3. Синтез оптимальных цифровых су с использованием уравнения риккати

Задание: определить оптимальное управление цифровой СУ, используя уравнение Риккати.

Дано: Уравнение движения объекта:

(3.1)

где:

(3.1.1)

Оптимизирующий функционал имеет вид:

(3.2)

Необходимо определить оптимальное управление при

Решение:

Из теории известно, что для оптимизирующего функционала вида:

(3.3)

можно найти оптимальное управление, которое представляет собой линейную функцию от фазовых координат:

(3.4)

где:

; (3.5)

где матрица-решение уравнения Риккати:

(3.6)

где найдем из (3.1.1), а найдем из (3.2):

(3.7.1)

(3.7.2)

Уравнения (3.5) и (3.6) удобно решать в обратном порядке, при этом сначала, в соответствии с уравнением (3.5), вычисляют , а затем с помощью уравнения (3.6) по значениям и находят значение и т.д. Значение выбирают равным , где произвольно большая величина (в данном случае ). Если терминальная составляющая в оптимизирующем функционале отсутствует, то . Расчеты продолжаются до тех пор, пока значение матрицы F не установится на трёх шагах подряд. Матрица считается установившейся если коэффициенты в ней на этих шагах отличаются только в третьем знаке после запятой.

Зададимся значением:

(3.8)

Для :

Для :

Для :

Для :

Для :

_{Видно, что в последних трёх шагах значение функции F остаётся постоянным с точностью до тысячной доли [см. (3.11.1.),(3.12.1.),(3.13.1)], поэтому расчет останавливаем. Следовательно, оптимальное управление будет равно:}

4. Реализация цифровых регуляторов

Задание: реализовать цифровой регулятор в виде комбинированного импульсного фильтра и представить последовательный фильтр в виде RC-четырехполюсника. Реализовать этот цифровой регулятор в виде программы на ЭВМ методами декомпозиции и параллельного программирования.

Дано: передаточная функция регулятора:

; (4.1)

Решение:

Из теории известно, что цифровой регулятор (ЦР) может быть представлен в виде структурной схемы:

Рис.4.1. Структурная схема ЦР

ЦР выполняет определенные линейные преобразования и вырабатывает выходную последовательность в виде квантованного сигнала _.

_{Передаточная функция ЦР определяется в виде:}

(4.2)

_{ЦР может быть реализован в виде последовательного импульсного фильтра (ИФ), ИФ в цепи ОС или ИФ комбинированного типа. Структурная схема последнего изображена на рис.4.2.}

Рис.4.2. Структурная схема импульсного фильтра комбинированного типа

_{Передаточная функция ЦР:}

(4.3)

_{Если имеет комплексно-сопряженные полюсы и нули и/или полюсы и нули на единичной окружности или вне её, а так же общее число нулей и полюсов одинаково, тогда передаточную функцию регулятора можно записать в виде двух передаточных функций:}

(4.4)

_где:

(4.5)

(4.6)

Рис.4.3. Преобразованная структурная схема

импульсного фильтра комбинированного типа

_{Передаточные функции представляют собой ИФ в цепи ОС и последовательный ИФ, а также они должны удовлетворять свойствами, необходимыми для реализации этих фильтров. Преобразованная структурная схема изображена на рис.4.3. При этом для (4.5): для того, чтобы функцию H(s) можно было реализовать в виде четырехполюсника, передаточная функция ЦР должна обладать следующими свойствами:}

1. _{Число нулей и полюсов должно быть одинаковым;}

2. _{Полюсы функции могут быть произвольными;}

3. _{Нули должны быть простыми, действительными, положительными и меньше 1.}

_{Для (4.6): для реализации подобного импульсного фильтра, передаточная функция ЦР должна обладать следующими свойствами:}

1. _{Число полюсов должно быть больше или равно числу нулей этой функции;}

2. _{Нули функции могут быть произвольными;}

3. _{Полюсы должны быть простыми, действительными, положительными и меньше 1.}

_{На основании свойств функций и для их реализации, последние примут вид:}

(4.7)

(4.8)

Записанные в таком виде передаточные функции могут быть реализованы в виде RC-четырехполюсника.