5. Применение функций ляпунова при построении самонастраивающихся систем

Задание: произвести синтез контура активной самонастройки системы с эталонной моделью. Объект с переменными параметрами охвачен отрицательной обратной связью с переменным коэффициентом и снабжен дополнительным усилителем .

Дано: уравнение основного контура:

(5.1.1)

Матрицу Р представить в следующем виде:

(5.1.2)

Решение:

Рассмотрим решение задачи синтеза контура самонастройки (СН) системы с эталонной моделью исходя из условия устойчивости процесса СН:

Рисунок 5.1 – структурная схема самонастраивающейся системы.

где:

Уравнения основного контура и модели линейны и имеют вид:

(5.2) (5.3)

Где, и - переменные во времени параметры основного контура; и - постоянные коэффициенты модели. Причем порядок модели не превышает порядок основного контура, т.е. .

Исходя из уравнения основного контура (5.1.1), запишем уравнение модели:

_(5.4)

_{где: , ,}

Если порядки модели и основного контура совпадают, т.е. , то разность сигналов (5.3) и (5.2), определяющая входной сигнал в контуре СН имеет вид уравнений:

(5.6)

(5.7)

У равнение (5.7) используется для синтеза закона изменения настраиваемых параметров основного контура при построении системы с активной подстройкой. Представим коэффициенты основного контура на интервалах в виде:

(5.8)

где: - коэффициент дополнительного усилителя.

- настраиваемые параметры ГОС.

Тогда вместо уравнений (5.2) и (5.7) можно записать:

(5.9)

(5.10)

(5.11)

П еременные коэффициенты представим следующим образом:

(5.12)

где: - приращение изменяемого параметра объекта.

- значение коэффициента ОС, полученное при первичной оптимизации для квазистационарного объекта, когда .

- приращение настраиваемого параметра.

_{Составим уравнение для входного сигнала контура самонастройки на интервалах самонастройки :}

, (5.13)

_{При этом переменный коэффициент передачи представим в виде произведения его значения на интервалах квазистационарности на изменяемое значение полученное в результате самонастройки: ;}

Закон изменения коэффициента дополнительного усилителя, выполненного на входе основного контура определим из условия асимптотической устойчивости процессов самонастройки.

С учетом всего сказанного, сигнал рассогласования будет иметь вид:

(5.14)

Запишем уравнение состояния, приняв следующее:

(5.15)

Выберем функцию Ляпунова в виде положительной квадратичной формы вида:

(5.16)

- вектор переменных состояния;

- симметричная положительно определенная матрица;

- строка переменных во времени коэффициентов;

- диагональная матрица.

Выражение (5.9) с учетом (5.1.2) примет вид:

(5.17)

В том случае, когда закон изменения настраиваемых параметров рассматривается только из условий устойчивости процесса СН, определяется полная производная функции Ляпунова, которая должна быть отрицательно определенной ( ):

(5.18)

Подставляя (5.15) в (5.18) и произведя вычисление на границе устойчивости, т.е. при , получим:

(5.19)

В выражении (5.19) можно не учитывать слагаемое ( ), поскольку оно всегда отрицательно: (5.20)

Р ассмотрим первые два слагаемых:

→ →

Следовательно, выражение (5.20) примет вид:

(5.22)

(5.23)

Решим уравнение (5.23.1), получим:

(5.24)

Исходя из того, что , получим:

(5.25)

Тогда, с учетом (5.24), имеем:

(5.26)

Или с учетом замен (5.15):

(5.27)

Решим уравнение (5.23.2), получим:

_(5.28)

Исходя из того, что , получим:

(5.29)

Тогда, с учетом (5.28), имеем:

_(5.30)

Или с учетом замен (5.15):

_(5.31)

Тогда, структурная схема системы будет иметь вид:

Рисунок 5.2 – структурная схема самонастраивающейся системы по заданию (5.1.1).