4.5. Методика расчета коэффициентов уравнения с использованием параболы второй степени

На практике наиболее употребительна парабола второй степени, уравнение которой имеет вид: _.

_{Задача: получить уравнение параболы второй степени для своего заданного варианта.}

Для получения коэффициентов уравнения параболы второго порядка используется следующая система уравнений, также полученная с помощью метода наименьших квадратов:

Рассмотрим методику расчета коэффициентов уравнения параболы

(а₀,а,,а₂) в соответствие с данными, указанными в таблице 4.3.

Таблица 4.3.

Запишем систему уравнений:

Решим систему уравнений методом Гаусса (метод последовательного исключения переменных). Его сущность заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводиться к эквивалентной системе уравнений ступенчатого вида, из которой последовательно, начиная с последних переменных, находятся все остальные переменные.

Преобразования Гаусса удобно проводить не с самими уравнениями, а с матрицами их коэффициентов. Преобразуем систему уравнений в расширенную матрицу системы:

Последовательность решения следует ниже:

Исключаем переменную) из всех строк, начиная со второй. Для этого все элементы второй строки уменьшаться на вычтем из них соответствующие элементы первой строки. А все элементы третьей строки уменьшим на 108/2314 и вычтем из них соответствующие элементы второй строки. Получим новую матрицу:

Исключаем переменную из третьей строки. Все элементы третьей строки уменьшим на и вычтем из них соответствующие элементы второй строки:

Последнюю матрицу преобразуем в систему уравнений:

Используя обратный ход метода Гаусса, найдем из третьего уравнения

Из второго уравнения получим

Из первого уравнения , получим

Тогда уравнение параболы будет иметь вид:

4.6. Оценка тесноты связи между показателями

Для оценки тесноты связи между показателями и факторами при многофакторных и нелинейных зависимостях не может быть использован коэффициент парной корреляции, а применяются другие показатели тесноты связи.

Рассмотрим в качестве меры колебания фактических значений относительно линии регрессии не функцию , а среднее значение квадратов остатков, которое назовем остаточной дисперсией и обозначим , т.е.

Соотношение характеризует уменьшение размаха колебаний в результате использования линий регрессии. Оно является отношением остаточной дисперсии , проявляющаяся в отклонениях , к совокупной дисперсии показателя .

Если соотношение равно нулю, то это значит, что все точки выборки лежат на линии регрессии. Следовательно, изменение показателя F полностью объясняется изменением фактора X и остатки в этом случае равны нулю.

Если равно единице, то регрессия ничего не объясняет, линия регрессии превращается в линию, параллельную оси абсцисс, при этом

Таким образом, отношение характеризует как бы необъясненную долю дисперсии показателя. Она изменяется от нуля, когда зависимость между показателями и факторами носит строго функциональный характер, до единицы, когда показатель совсем не зависит от изменения фактора.

Учитывая, что лучшее качество модели (в смысле повышения тесноты связи) целесообразно характеризовать большими значениями показателя, перейдем к иному представлению отношения , а именно:

Показатель называется коэффициентом детерминации,

а - коэффициентом (индексом) корреляции.

иногда его называют корреляционным отношением и обозначают .

52

Для определения индекса корреляции составим вспомогательную таблицу.'

Таблица 4.4.

Приведенные в таблице 4.4 данные позволяют определить соответствующие формулы для параболической регрессии: Общую дисперсию:

Остаточную дисперсию по формуле :

Корреляционное отношение

53

В данном случае теснотой связи между показателем и фактором при параболической зависимости близка к функциональной.

Рассмотренный индекс корреляции является универсальной мерой тесноты связи между показателем и фактором (факторами) и может использоваться при любых видах зависимости (в том числе и линейных).