1. Физическое моделирование объектов и систем управления

Математической основой физического подобия является теория подобия и др. При разработке физической модели применяются методы подобия и аналогии.

1. Метод подобия

Подобие — перенос данных исследования модели на оригинал. Это свойство называется свойством традуктивности. Согласно теории подобия — критерии подобия в сходных точках модели и оригинала должны быть равны. Они устанавливают сходство модели и оригинала, и являются полной мерой переноса данных модели на оригинал.

1. Условие подобия по одному критерию.

Пример: необходимо смоделировать распределение скоростей жидкости в канале сложной фоормы.

Рис.1 Изображение оригинала а) и модели б)

Критерий подобия — гидродинамический критерий Рейнольдса:

где — скорость движения среды в канале;

— длина участка;

— динамический коэффициент вязкости.

2. Условие подобия по двум критериям.

Пример 1.: необходимо построить физическую модель химического реактора.

Процессы в химическом реакторе характеризуются:

1. критерий подобия химического превращения (критерий Данклера):

где — скорость превращения;

— скорость потока;

—концентрация.

2. гидродинамический критерий Рейнольдса:

(при уменьшении длины для соблюдения подобия химического превращения необходимо уменьшать скорость ).

(при уменьшении длины необходимо увеличивать скорость ).

В модели реактора оба эти критерия несовместимы.

Возможность применения физического моделирования определяется следующим соотношением:

.

где — число параметров модели;

— число параметров оригинала;

— число критериев подобия.

При создание модели возможно.

При создание модели не возможно.

Пример 2.: необходимо получить физическую модель оросителя типа плита насадочной колонны.

Рис. 2 Общий вид оросительной колонны: 1 — плита, 2 — трубка, 3 — слой осадка.

Критерием подобия является:

1. подобие сил тяжести (критерий Фуда):

2. гидродинамический критерий Рейнольдса:

1. Пусть и

2. Пусть и

2. Пусть и

т.к. , то можно записать

(1.1)

Из 1.1 выражаем :

подставляя полученное выражение в 1.2 получаем:

т.к. , а , подставим эти значения в 1.3 получим:

2. Метод аналогий

При физическом моделировании главным условием является перенос данных с модели на оригинал. При этом не накладываются особые условия на идентичность свойств модели и оригинала.

Условие идентичности (аналогичности) модели и оригинала:

Аналогичными называются объекты (оригинал, модель) которые описываются аналогичными уравнениями (уравнения, содержащие одинаковые операторы, находящиеся на одинаковых местах в аналогичных уравнениях).

1. Электрогидродинамическая аналогия (ЭГДА).

ЭГДА основано на аналогичности уравнений описывающих фильтрацию газа через пористую перегородку и уравнений описывающих протекание тока в трехмерном пространстве.

Процесс фильтрации газа описывается уравнением Дарси-Вейсбаха:

где ω — скорость газа;

— коэффициент фильтрации;

— перепад давления.

Прохождение тока в пространстве описывается законом Ома:

где — вектор плоскости тока в любой точке пространства;

— удельная электропроводность;

— разность потенциалов.

Смоделируем движение газа через слой катализатора, в котором расположены теплообменные трубки. Газ равномерно распределяется по всему сечению аппарата, следовательно, достаточно смоделировать движение газа в одном продольном сечении.

Рис. 3 Продольное сечение аппарата: 1 — слой катализатора, 2 — теплообменные трубки.

Первая задача: выбор такого расположения трубок, чтобы обеспечивалось равномерное распределение скорости газа.

Вторая задача: при данном распределении трубок исследовать слои различной крупности.

Необходимо построить электрическую модель оригинала. Для этого строится горизонтальная ванна, заполненная слоем электролита, в который опускаются изоляторы, которые моделируют теплообменные трубки. Данная электрическая модель должна быть геометрически подобна.

Для исследования данной электрической модели прикладывается между границами модели. Далее измеряется в любой точке данной модели. Перенос данных исследования на оригинал производится приравниванием критериев подобия модели и оригинала.

Критерием подобия оригинала является число Лагранжа:

Критерий электрической модели:

Решение первой задачи осуществляется изменением положения изолятора.

Чередование слоев катализатора в электрической модели чередования участков электролита различной плотности (электропроводности).

2. Электротепловая аналогия (ЭТА).

Она основана на аналогичности уравнений, описывающих распространение тепла вдоль стержня и уравнений, описывающих распределение потенциала по проводнику с сопротивлением и емкостью .

Изменение описывается уравнением Фурье:

где — коэффициент теплопроводности.

Распределение потенциала по проводнику:

Перенос данных с модели на оригинал осуществляется приравниваем критериев подобия модели и оригинала.

Для оригинала применяется критерий Фурье:

Для модели применяем число подобия:

Примем , тогда