Рассмотрим частные случаи плоского напряженного состояния:

а) Всестороннее растяжение.

Напряженное состояние, при котором главные напряжения, действующие по граням параллелепипеда равны между собой ₁ = ₂ =  называется всесторонним растяжением. В этом случае, получим

,

,

, ,

то есть, нормальные напряжения в любой произвольной площадке равны между собой ₁ = ₂ = _х = s_у = , а касательные напряжения равны нулю: , .

б) Чистый сдвиг.

Пусть по граням параллелепипеда действуют главные напряжения , , (рис. 4.10). Определим величины нормальных и касательных напряжений, действующих в площадках, повернутых под углом 45^о к главным. Из формул (4.1) получим, что

, _,

, .

Напряженное состояние, при котором по граням выделенного элемента действуют только касательные напряжения, называется чистым сдвигом, а площадки - площадками чистого сдвига.

Э кспериментально установлено, что существует линейная зависимость между углом сдвига g и касательными напряжениями t (рис. 4.11), являющаяся законом Гука при сдвиге

,

где G – модуль сдвига, характеризующий способность материала сопротив-

ляться сдвиговой деформации, т.е. характеризующая жесткость матери-

ала при сдвиге.

Величина модуля сдвига связана с модулем упругости при растяжении Е и коэффициентом Пуассона ν соотношением

.

Рассмотрим задачу определения главных напряжений ₁ и ₂, а также положения главных площадок (угол ₀) по известным напряжениям _х, _у, _ху, действующим по двум взаимно перпендикулярным площадкам (обратная задача).

Пусть для определенности положим _х  _у. Из формул (4.1) и (4.2), можно получить

,

. (4.3)

Исключив из этих формул ₁ и ₂, получим формулу для определения угла наклона главных площадок относительно заданной площадки. Обозначим этот угол ₀. Так как направление отсчета углов  для площадки произвольного положения и угла ₀ противоположны, то в полученной формуле необходимо изменить знак. Положительный угол ₀ будем откладывать от направления внешней нормали к площадке, по которой действуют большие нормальные напряжения _х против хода часовой стрелки.

.

Откуда

.

Для определения и возведем каждое из соотношений (4.3) в квадрат и сложим их:

,

тогда

,

а так как , то из двух последних соотношений получим:

,

. (4.4)

Большее главное напряжение ₁ действует на площадке с углом наклона a₀, вторая же главная площадка с напряжением ₂ ей перпендикулярна и ее нормаль наклонена под углом к направлению _х. Положение главных площадок и направления главных напряжений представлены на рис. 4.12.

Г лавные напряжения обладают свойствами экстремальности, т.е. ₁ наибольшее, а ₂ наименьшее при любом положении секущей пары взаимно перпендикулярных плоскостей.