Контрольні запитання

4.1 Який метод застосовують для розв’язування задач про вільні поперечні коливання нескінченої струни?

4.2 Який метод застосовують для розв’язування задач про вільні поперечні коливання скінченної струни?

4.3 Суть методу Фур’є для розв’язування задач на коливання.

4.4 У чому полягає фізичний зміст розв’язку задачі про поперечні коливання?

4.5 У чому полягає задача про вимушені коливання струни?

Лекція 5 Розв’язування задачі про поздовжні коливан-ня стержня

5.1 Метод Фур’є для розв’язування задачі про поздовжні коливання стержня

Враховуючи те, що метод Фур’є працює при однорідних граничних умовах, розглянемо задачу про вільні коливання стержня, один кінець якого ( ) жорстко закріплений, а другий ( ) вільний. Ця задача має наступну постановку:

.

П.У. Г.У. (5.1)

За методом Фур’є розв’язок задачі шукаємо у вигляді . Знайдемо частинні похідні:

(5.2)

Після підстановки (5.2) у хвильове рівняння (5.1), отрима-ємо: (5.3)

Враховуючи попередні дослідження, відразу розглянемо випадок, який призводить до коливального процесу. Нехай . Тоді хвильове рівняння розіб’ється на два одно-рідних диференціальних рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами відносно функцій та .

( І )

. ( ІІ )

Розглянемо спочатку перше рівняння ( І ) і знайдемо функцію

.

Характеристичне рівняння

Отже, (5.4)

де А та В – довільні сталі, які будемо шукати із граничних умов (5.1):

Тут , щоб уникнути тривіального розв’язку задачі. Знайдемо . Тоді граничні умови набувають вигляду:

(5.5)

Тут та , щоб виключити можливість отримання нульового розв’язку. Тоді ,

.

Звідси визначаємо , як множину чисел :

. (5.6)

Тоді коефіцієнт залишився невизначеним.

Тепер розглянемо друге рівняння (ІІ) і знайдемо функцію

.

Характеристичне рівняння

Тоді загальний розв’язок з врахуванням, що буде таким:

(5.7)

Запишемо частинний розв’язок поставленої задачі:

Введемо позначення: та

Враховуючи позначення, запишемо загальний розв’язок як суму всіх частинних:

(5.8)

або в розгорнутому вигляді:

(5.9)

Щоб знайти невідомі коефіцієнти та , скористаємося початковими умовами. Але спочатку знайдемо

Тепер запишемо початкові умови

(5.10)

Фактично ми отримали розклади функцій та в ряди Фур’є по синусах.

Таким чином при розв’язуванні задачі про поздовжні ко-ливання стержня, один кінець якого жорстко закріплений, а другий вільний, розв’язок має вигляд:

де коефіцієнти розкладу обчислюються за формулами Фур’є:

(5.11)

Приклад 5.1 Розв’язати задачу про поздовжні коливання стержня, один кінець якого жорстко закріплений, а до вільно-го кінця прикладена сила P, причому в момент t=0 дія сили раптово припиняється.

• Ця задача має наступну постановку:

Тобто функції , Звідси

Щоб побудувати розв’язок (5.8) знайдемо коефіцієнт :

.

Тоді розв’язок задачі:

де

Приклад 5.2 Поставити і розв’язати задачу про поздовжні коливання у стержні, один кінець якого жорстко закріплено, а до вільного кінця раптово у момент часу прикладена розтягуюча сила P.

• Ця задача має наступну постановку:

П.У. Г.У.

Для того, щоб розв’язати задачу з ненульовими граничними умовами зробимо заміну :

П.У. Г.У.

тоді

а постановка задачі про поздовжні коливання у стержні, один кінець якого жорстко закріплено, а до вільного кінця раптово у момент часу прикладена розтягуюча сила P,матиме вигляд

Знайдемо за методом Фур’є та відповідь запишемо у вигляді