Контрольні запитання
5.1 У чому полягає постановка для розв’язування задачі про поздовжні коливання стержня?
5.2 У чому полягає суть методу Фур’є для розв’язування задач про поздовжні коливання стержня?
5.3 При яких граничних умовах працює метод Фур’є?
Лекція 6 розповсюдження тепла
6.1 Задача про розповсюдження тепла. Рівняння теплопровідності
Розглянемо задачу про розповсюдження тепла в нерівно-мірно нагрітому тілі V, обмеженому поверхнею S. У цьому ви-падку виникають теплові потоки від ділянок з вищою темпе-ратурою, до ділянок з нижчою. Тобто відбувається перерозпо-діл тепла.
За
величину, що характеризує даний процес,
візьмемо функцію
,
яка визначає температуру в будь якій
точці M(x,y,z)
у будь який момент часу t.
При побудові математичної моделі зробимо наступні припущення стосовно фізичних властивостей тіла:
1) тіло – однорідне;
2) ізотропне;
3) у тілі відбувається механічний переніс тепла від більш нагрітих ділянок до менш нагрітих;
4) усе тепло йде на зміну температури тіла;
5) властивості тіла від температури не залежать.
Щоб вивести рівняння теплопровідності достатньо склас-ти рівняння теплового балансу, яке запишемо так:
(6.1)
Визначимо всі складові цього рівняння.
1)
– це кількість тепла, що проходить через
поверхню
за деякий час ∆t.
Для визначення
скористаємося експе-риментальним
законом Фур’є, згідно з яким елементарна
кіль-кість тепла
,
що проходить через елементарну частину
по-верхні
в напрямку нормалі
до неї за одиницю часу, до-рівнюватиме
де k –
коефіцієнт внутрішньої теплопровідності,
k>0, розмірність
.
Вважаємо, що коефіцієнт k не залежить від напряму нор-малі. Щоб визначити всю кількість тепла, що проходить через поверхню за час ∆t, достатньо проінтегрувати по цій поверхні і домножити на ∆t:
Нехай
вектор
тоді
Тоді
використовуючи формулу Остроградського по відношенню до вибраного елемента ω з внутрішньою нормаллю до поверхні , маємо
.
Звідси
.
(6.2)
2)
– це кількість
тепла, що виділяється (поглинається)
джерелами (якщо вони є), розподіленими
в об’ємі ω за деяким законом. Позначимо
через f(M,t)
питому
потужність джерела в точці M(x,y,z)
у момент часу t
(аналог інтенсивності зовнішніх сил в
задачах на коливання). Тоді елементарна
кількість тепла за одиницю часу буде
Вся кількість тепла за час ∆t:
.
(6.3)
3)
–
уся кількість тепла, що йде на зміну
температури в будь якій точці М за деякий
час ∆t, може бути визначена за законом
Ньютона, згідно якого елементарна
кількість тепла
прямо пропорційна зміні температури
∆U
за час ∆t
і масі елементарної частини ρdω
та дорівнюватиме
де С –
питома теплоємність матеріалу
тіла, розмірність
;
ρ –
густина.
Звідси
.
(6.4)
враховуючи рівності (6.1) – (6.4), запишемо рівняння теплового балансу
Або
(6.5)
Згідно з основною лемою математичної фізики якщо під-інтегральна функція неперервна та інтеграл по довільній області ω дорівнює нулю, то і сама функція також дорівнює нулю. Отже,
.
Поділимо
на Cρ∆t
і введемо границю, коли
.
Або
де
;
.
Якщо врахувати, що
.
отримаємо
.
(6.6)
Це тривимірна модель розповсюдження тепла у тілі, або просторове рівняння теплопровідності. тут М – точка M(x,y,z).
Очевидно, що двовимірна модель буде мати вигляд:
(6.7)
яка описує розповсюдження тепла в дуже тонкій (плоскій) пластині. Тут М – точка M(x,y).
І одновимірна модель:
(6.8)
Це
рівняння теплопровідності для
прямолінійного тонкого стержня (один
характерний розмір-довжина). Саме з цим
рів-нянням ми і будемо далі працювати.
Зауважимо, що в силу зроблених нами
припущень величини
сталі. Також
вважаємо, що бічна поверхня стержня
теплоізольована.
Проаналізуємо рівняння теплопровідності (6.8):
;
.
Тут x – просторова координата, t – час, U(x,t) – температура в точці з координатою х в момент часу t.
Якщо
зафіксувати
,
то отримаємо
–
закон, за яким змінюється температура
в точці
,
якщо зафіксувати час
,то
отримаємо
– розподіл
температур у стержні в момент часу
.
Вільний член F(x,t) характеризує наявність джерел тепла в стержні. Якщо їх нема, то F(x,t)=0 і рівняння теплопровідності набуває особливо простого вигляду
(6.9)
Спробуємо
з’ясувати зміст коефіцієнта
,
визначивши його розмірність.
.
Як бачимо не має розмірність швидкості, як було в задачах на коливання, але прийнято вважати, що і тут а – відіграє роль швидкості розповсюдження теплової хвилі.