Признаки резонансов токов:

1. сопротивление контура Z_к – максимально и чисто активное;

2. ток в неразветвленной части цепи I совпадает по фазе с напряжением источника и минимально;

3. реактивная составляющая тока в катушке I_Lp равна емкостному току I_C , причем эти токи могут во много раз превышать ток источника.

Рис. 5.9 Векторная диаграмма при резонансе токов.

Частота, при которой наступает резонанс токов практически совпадает с собственной частотой контура.

6. Коэффициент мощности, его значение и способы повышения

Коэффициент мощности: cos φ = , где

Р – активная мощность, S – полная мощность генератора.

Низкий коэффициент мощности не позволяет полностью использовать установленную мощность генераторов станции, что приводит к увеличению тепловых потерь (энергии) в линии передачи. Поэтому обычно стремятся к тому, чтобы cos φ установки стремился к единице (0,95 ÷ 1,0).

Для повышения cos φ параллельно приемнику энергии включают батареи конденса-торов. Благодаря этому источником реактивной энергии для приемника становится емкость, и линия передачи разгружается от реактивного тока.

На практике к приемникам с подходящим cos φ относятся наиболее распространенные в качестве промышленного привода асинхронные двигатели. Значение cos φ у них колеблется в пределах 0,1 ÷ 0,3 при холостом ходе и 0,8 ÷ 0,85 – при номинальной нагрузке.

Всемирное повышение cos φ электрических установок является важнейшей народохозяйственной проблемой. При существующем уровне электрификации страны повышение cos φ означает экономию миллионов киловатт-часов электроэнергии, теряемых в электрических сетях при низком cos φ и лучшее использование десятков тысяч киловатт установленной мощности трансформаторов и генераторов электростанций.

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ 

Д u = Um sin ωt , i = Im sin ωt , ; . i = Im sin ωt , u = Um sin (ω t + ), ; ; ХL = 2 π f L = Lּω. u = Um sin ωt , i = Im sin (ω t + ), ; ; . ля цепи: Для цепи: Для цепи: Последовательное соединение активных и реактивных элементов: i = Im sin ωt , uR = URm sin ωt ; uL = ULm sin (ωt + ); uС = UСm sin (ωt – ). Полное сопротивление цепи: Z = . Реактивное сопротивление: Х = XL – XC. Угол сдвига фаз между током и напряжением: соs φ = ; sin φ = ; tg φ = . Активная мощность: Р = IּUּcos φ = I2ּR. Реактивная мощность: Q = IּUּsin φ = I2 (XL – ХС). Полная мощность: S = IּU = . Коэффициент мощности: сos φ = . Напряжение: U = IּZ.

Схемы	Обозначения	Единицы измерения
	u, i – мгновенные значения напряжения, силы тока Im, Um – амплитудные значения тока и напряжения R – сопротивление активное I, U – действующие значения силы тока и напряжения XL – индуктивное сопротивление f – частота тока L – индуктивность катушки ω – угловая частота XC – емкостное сопротивление С – емкость конденсатора UR – напряжение на активном сопротивлении UL – напряжение на индуктивной катушке UС – напряжение на емкости Z – полное сопротивление цепи Х – реактивное сопротивление φ – угол сдвига фаз между током и напряжением Р – активная мощность Q – реактивная мощность S – полная мощность	1В, 1А 1А, 1В 1 Ом 1А, 1В 1 Ом 1 Гц 1 Гн 1 Ом 1 Ф 1 В 1 В 1 В 1 Ом 1 Ом град. 1 Вт 1 ВАр 1 ВА

Примеры решения задач 

1. Напряжение на зажимах цепи с активным сопротивлением изменяется по закону

u = 220 sin (314 t + ). Определить закон изменения тока в цепи, если R = 50 Ом.

Решение

Используя закон Ома для мгновенных значений силы тока и напряжения, для цепи, содержащей активное сопротивление

Ответ:

2. Напряжение на зажимах данной цепи u = 100 sin 314 t. Определить показание амперметра и вольтметра, если R = 100 Ом.

Решение

Используя соотношение I = = 0,7 А

или U = IּR = 0,7ּ100 = 70 В.

Ответ: 0,7 А, 70 В.

3. Ток в цепи с индуктивной катушкой изменяется по закону I = I_m sin (ωt – ). Как будут изменяться напряжение и ЭДС самоиндукции в цепи?

Решение

Так как ток отстает по фазе на от напряжения, то

u = U_m sin (ωt – + ) = U_m sin ωt.

Так как эдс отстает по фазе на от тока, то

℮ = Е_m sin (ωt – – ) = Е_m sin (ωt – π).

4. Определить сопротивление конденсатора емкостью 5 кмФ при частоте 50 Гц.

Решение

.

Ответ: 636 Ом.

5. Н

   

   еразветвленная цепь переменного тока содержит активные и реактивные сопротивления. Определить: полное сопротивление Z, напряжение U, приложенное к цепи, φ – угол сдвига фаз, активную Р, реактивную Q и полную S мощности.

Дано: R = 4 Ом ХL = 7 Oм ХС1 = 8 Ом ХС2 = 2 Ом I =10 А

Решение Общее емкостное сопротивление: ХС = ХС1 + ХС2 = 10 Ом. Полное сопротивление цепи: Z = . Напряжение, приложенное к цепи: U = IּZ = 10ּ5 = 50 В. Чтобы найти угол сдвига фаз между током и напряжением воспользуемся формулой для sin φ (чтобы не потерять знак): sin φ = , φ = – 36˚ 50´. Активная мощность: Р = I2 R = 100ּ4 = 400 Вт. Реактивная мощность: Q = I2 (XL – XC) = 100ּ(–3) = – 300 Вар. Полная мощность: S = IּU = 10ּ50 = 500 ВА.

Z, U, φ, P, Q, S  ?

Ответ: 5 Ом; 50 В; -36⁰ 50^'; 400 Вт; -300 Вар; 500ВА.

6. Как изменится резонансная частота колебательного контура, если емкость увеличится в 4 раза?

Ответ: Уменьшится в 2 раза. (f = ).

7. Как влияет реактивное сопротивление на ток в момент резонанса?

Ответ: Совсем не влияет (т.к. при резонансе только активное сопротивление в цепи).

8. Какие приборы дают возможность точно зафиксировать момент резонанса:

1) вольтметр, 2) амперметр, 3) вольтметр и амперметр?

Ответ: амперметр, т.к. показывает максимальное значение тока, которое соответствует резонансному (см. кривую рис. 5.8).

Контрольные вопросы 

1. Ток в цепи с L изменяется по закону i = I_m sin (t – ). Как будут изменяться напряжение и ЭДС самоиндукции в цепи?

2. Оказывает ли индуктивная катушка сопротивление постоянному току, если r_к = 0?

3. К источнику переменного тока подключена катушка L с r = 0. В схему кроме амперметра и вольтметра включен частотомер Н_z и ваттметр W. Показания каких приборов дают возможность рассчитать индуктивность L катушки?

Задачи для самостоятельного решения 

1. Выражение для мгновенных значений тока (А) и напряжения (В) имеют вид:

i = 14,2 sin (t + ); u = 169 sin (t + ).

Определить показания амперметра и вольтметра, включенных в цепь, а также ее сопротивление.

(Ответ: 10 А; 120 В; 12 Ом)

2. Как изменится ток в цепи с конденсатором при

а) увеличении частоты в 2 раза;

б) уменьшении емкости в 3 раза;

в) одновременном увеличении напряжения в 2 раза и уменьшении частоты в 2 раза?

3. К простейшим цепям переменного тока приложено напряжение (В), мгновенное значение которого определяется выражением u = 10 sin (314t – 45).

Найти выражения для мгновенных значений токов в каждом случае (если цепь содержит активное сопротивление; индуктивное сопротивление; емкостное сопротивление) и определить их действующие значения, если r = 1 кОм, L = 0,1 Г и С = 10 мкФ.

(Ответ: 10 sin (314t – 45) мА; 320 sin (314t – 135) мА;

31,4 sin (314t + 45) мА; 7,1 мА ; 226 мА ; 22,2 мА)

4. Нагрузка включена в сеть напряжением 127 В и потребляет ток 0,3 А.

Определить активную, реактивную и полную мощности, если разность фаз напряжения и тока  = 0; 30; 60; 90.

5. Определить коэффициент мощности потребителя, если:

а) напряжение 127 В, ток 10 А, мощность 1 кВт;

б) активное сопротивление 100 Ом, реактивное сопротивление 10 Ом;

в) активный ток 100 А, реактивный ток 50 А.

(Ответ: а) 0,79; б) 0,99; в) 0,9)