1.4 Рівняння Бернуллі

Ці рівняння мають вигляд:

Якщо поділити обидві частини на і ввести нову змінну то для одержуємо лінійне рівняння

Далі розв’язуємо рівняння для і знаходимо .

Рівняння Бернуллі, як і лінійне ДР (1.7), можна розв’язувати з допомогою підстановки , де .

1.5 Приклади розв’язання завдань

Приклад 1.1

(1.16)

Це рівняння з відокремлюваними змінними (1.2), де , . Ми одержуємо послідовно:

Результат розв’язання ДР можна записати у вигляді загального інтеграла і загального розв’язку:

. (1.17)

Приклад 1.2

(1.18)

Це лінійне неоднорідне рівняння (1.7) з , .

Нехай Для u маємо ДР з відокремлюваними змінними

Знайдемо його розв’язок :

Для v(x) одержуємо

Загальний розв’язок ДР (1.18) має вигляд

. (1.19)

При цьому

Приклад 1.3

Це однорідне рівняння першого порядку. При цьому . Вводимо .

Тоді рівняння (1.20) прийме вигляд або .

Отримали ДР з відокремлюваними змінними.

Далі одержуємо Знайдемо загальний інтеграл:

.

Для обчислення вводимо нову змінну . Тому загальний інтеграл має вигляд:

.

Загальний розв’язок має вигляд

. (1.21)

Приклад 1.4

(1.22)

Це рівняння Бернуллі (n = - ). При цьому . Помножимо обидві частини на . Тоді Вводимо Для z одержуємо лінійне рівняння

Нехай тоді

.

Для v(x) маємо

Тому Тепер можна написати загальний розв’язок рівняння Бернуллі:

. (1.23)

2 Диференціальні рівняння другого порядку

Розглянемо ДР, які розв’язані відносно другої похідної:

. (2.1)

Якщо функція неперервна разом з частинними похідними і в області у тривимірному просторі (з координатами ) то існує тільки один розв’язок ДР (2.1), який відповідає умовам , , де і числа. Тобто, в площині при заданому тангенсу кута нахилу кривої в т. проходить тільки одна крива. Загальний розв’язок ДР (2.1) містить дві довільні сталі. Задачею Коші для ДР (2.1) називається задача знаходження частинного розв’язку, який відповідає умовам , , де і – числа. Тому для розв’язання задачі Коші одержуємо систему двох рівнянь, одне з яких представляє собою умову , а інше умову .

Частинні розв’язки ДР (2.1) відповідають конкретним значенням довільних сталих . Відзначимо, що окрім розв’язання задачі Коші можливі й інші способи знаходження значень довільних сталих.

2.1 Рівняння другого порядку які допускають зниження порядку

В деяких випадках можна розв’язати ДР другого порядку з допомогою зниження порядку . Найбільш просто знижується порядок і навіть інтегрується ДР вигляду . Для інтегрування цього ДР достатньо двічі проінтегрувати ліву і праву частини цього рівняння.

Розглянемо інші ДР які допускають зниження порядку.

1. Рівняння виду . Ці рівняння не містять невідомої функції . До таких рівнянь відносяться ДР

. (2.2)

Для їхнього інтегрування позначимо . Тоді і ми одержуємо ДР першого порядку для функції :

. (2.3)

Якщо позначити розв’язок цього рівняння , то можна одержати загальний розв’язок

. (2.4)

2. Рівняння виду . В таких рівняннях немає явно незалежної змінної . Прикладом таких ДР є рівняння

. (2.5)

Для інтегрування цього ДР вводимо заміну . Тоді

і ми одержуємо ДР

. (2.6)

Це ДР першого порядку для функції , яку розглядаємо як функцію від - невідомої функції ДР (2.5). Якщо знайдено загальний розв’язок (2.6)

, (2.7)

то можна написати загальний інтеграл ДР (2.5)

. (2.8)