Приклад 4.1.4
Розв’язати задачу Коші для системи диференціальних рівнянь, (3.6) операційним методом
. (4.21)
Вводимо
зображення 
Після
підстановки зображень в систему ЛДР
одержуємо алгебраїчну систему для
зображень
:
.
Детермінант системи
.
За правилом Крамера маємо:
.
Цьому
зображенню відповідає оригінал
Аналогічно,
Тоді
Одержаний за операційним методом розв’язок Задачі Коші для системи ДР (3.6) співпадає з розв’язком (3.8).
Приклад 4.1.5
Розглянемо розв’язання задачі Коші для ДР зі сталими коефіцієнтами і правою частиною неспеціального вигляду (2.45):
(4.22)
Для розв’язання рівняння і задачі Коші операційним методом вводимо зображення
Одержуємо рівняння
Знайдемо спочатку оригінал для зображення
.
Згідно таблиці 4.1 маємо:
. (4.23)
Для
вводимо зображення
Тоді
є добуток зображень
.
Оригінал
знаходимо з допомогою згортки
Видно,
що в
входять ті самі невизначені інтеграли,
що і в
.
Тому будемо використовувати невизначені
інтеграли (2.49), (2.50). Тоді для
маємо:
(4.24)
Оскільки
,
то для розв’язку задачі Коші ми одержуємо
формулу (2.52), де
і
визначаються формулами (4.23) і (4.24).
Відмітимо, що
відповідає розв’язку задачі Коші для
однорідних початкових даних
а
відповідає відмінним від нуля значенням
або
.
5 Варіанти завдань
ЗАВДАННЯ № 1
Проінтегрувати рівняння
1
. 2
.
3
. 4
.
5
. 6
.
7
. 8
.
9
. 10
.
11
. 12
.
13
. 14
.
15
. 16
.
17
. 18
.
19
. 20
.
21
. 22
.
23
. 24
.
25
. 26
.
ЗАВДАННЯ № 2
Знайти загальний розв’язок диференціальних рівнянь
.
.
. 28
.
ЗАВДАННЯ № 3
Проінтегрувати диференціальне рівняння
ЗАВДАННЯ № 4
Надано лінійне неоднорідне диференційне рівняння
Розв’язати задачу Коши:
а)на основі загального розв’язку;
б) за операційним методом;
в)
написати загальний вигляд
для
і
.
№ |
p |
q |
f1(t) |
f2(t) |
f3(t) |
Y(0) |
Y΄(0) |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
1 |
-5 |
6 |
|
|
|
0 |
1 |
2 |
-4 |
4 |
|
|
|
1 |
0 |
3 |
0 |
9 |
|
|
|
0 |
2 |
4 |
1 |
-12 |
|
|
|
1 |
0 |
5 |
6 |
9 |
|
|
|
0 |
1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
6 |
0 |
16 |
|
|
|
1 |
0 |
7 |
3 |
-10 |
|
|
|
0 |
1 |
8 |
-10 |
25 |
|
|
|
2 |
0 |
9 |
0 |
25 |
|
|
|
0 |
2 |
10 |
3 |
-4 |
|
|
|
1 |
0 |
11 |
12 |
36 |
|
|
|
0 |
2 |
12 |
0 |
36 |
|
|
|
1 |
0 |
13 |
-1 |
-6 |
|
|
|
0 |
1 |
14 |
4 |
4 |
|
|
|
2 |
0 |
15 |
0 |
64 |
|
|
|
0 |
1 |
16 |
1 |
-6 |
|
|
|
1 |
0 |
17 |
-18 |
81 |
|
|
|
0 |
2 |
18 |
0 |
9/4 |
|
|
|
1 |
0 |
19 |
-1 |
-12 |
|
|
|
0 |
1 |
20 |
2 |
1 |
|
|
|
2 |
0 |
21 |
0 |
16/9 |
|
|
|
0 |
1 |
22 |
-3 |
-10 |
|
|
|
1 |
0 |
23 |
4 |
4 |
|
|
|
0 |
2 |
24 |
0 |
25/4 |
|
|
|
2 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
25 |
-3 |
-4 |
|
|
|
0 |
1 |
26 |
6 |
9 |
|
|
|
1 |
0 |
27 |
0 |
49/4 |
|
|
|
0 |
2 |
28 |
1 |
-6 |
|
|
|
1 |
0 |
29 |
8 |
16 |
|
|
|
0 |
1 |
30 |
0 |
25/9 |
|
|
|
0 |
2 |
31 |
14 |
49 |
|
|
|
2 |
0 |
