Тема 13. Принцип пошуку інваріанта. Ігри, стратегії, турніри. Маршрути, розфарбовування в задачах.

[3]: 11 – 17 (ст.61)

11. У кожній вершині куба записано число. За один крок до двох чисел, розміщених на одному (будь – якому) ребрі, додається по одиниці. Чи можна за кілька таких кроків зробити всі вісім чисел різними між собою, якщо спочатку числа розміщено так, як показано на рис 25?

12. Є дві купи камінців. Двоє гравців по черзі роблять такі ходи: забирають одну з куп, а другу ділять на дві частини. Якщо гравець при своєму ході не може розділити купу на дві частини(оскільки в ній залишається один камінець), то він програє. Хто виграє при правильній грі? Якою має бути стратегія успіху?

13. Двоє по черзі зривають пелюстки ромашки, причому за один раз можна зірвати або одну пелюстку, або дві сусідніх пелюстки. Виграє той, хто зробить останній хід. Хто ж з гравців виявиться переможцем?

14. Чи можна шахову дошку розміром обійти конем так, щоб на кожному полі побувати рівно один раз і повернутися на початкове поле?

15. Куб розбито на 27 однакових кубиків. Жук знаходиться в центральному кубику. З кожного кубика він може перейти в один із шести сусідніх кубиків(що мають з ним спільну грань). Чи може жук обійти всі кубики, побувавши в кожному з них рівно по одному разу?

16. Чи можна скласти куб розміром з 27 «цеглин» розміром ?

17. Чи можна з 1991 квадратної плитки утворити замкнений ланцюг?

8 -16 (ст.75)

8. Дві вершини трикутника закріплено в точках А і В, а третя вершина С переміщується в площині так, що різниця від неї до точок А і В є сталою величиною(СА - СВ= const). Довести, що центри кіл, вписаних у трикутник АВС, лежить на одній прямій.

9. У вершинах кількох правильних трикутників довільно записано числа1;2;3. Трикутники склали таким чином, що їхні вершини збіглись. Чи можуть суми чисел, записаних у кожній вершині, дорівнювати 1987?

10. На дошці написано три цілих числа. Одне з них витерли і замість нього написали суму двох чисел, що залишились, зменшену на одиницю. Цю операцію повторили кілька годин, і в результаті дістали числа 17; 1967; 1983. Чи правильно, що на дошці спочатку були написані числа а) 2;2;2; б) 3; 3; 3?

11. З шахової дошки розміром вирізано одну кутову клітинку. Чи можна частину дошки, що залишилась, покрити кісточками доміно так, щоб рівно половина з них була розміщена на горизонталях дошки?

12. З шахової дошки розміром вилучили одну кутову клітинку. Чи можна її покрити прямокутниками, складеними з трьох клітинок?

1 3. Чи можна шахову дошку покрити чотириклітинковими фігурами, які показано на рис. 35?

14. Чи можна шахову дошку розміром покрити прямокутниками, складеними з чотирьох клітинок ?

15. Дано кілька( не менше двох) чисел, що не дорівнюють нулю. Дозволяється стерти будь – які два числа А, В і записати замість них числа . Доведіть, що після кількох таких операцій неможливо знову дістати початковий набір чисел.

16. Кожний член парламенту має не більш трьох опонентів. Доведіть, що парламент можна поділити на дві палати так, щоб кожний парламентарій в одній з ним палаті мав не більше одного опонента.