Тема 22. Первісна та інтеграл.

[20]: 251, 255 – 258, 266, 274 – 278

251. Знайти всі первісні для функцій:

а)

_б)

_в)

г)

255. Довести, що будь – яка первісна непарної неперервної функції, визначена на , є парною функцією.

256. Довести, що парна неперервна функція, визначена на має принаймні одну непарну первісну.

257. Два тіла почали рухатися по прямій одночасно з однієї точки. Швидкість першого , другого . В який момент і на якій відстані від початкової точки відбудеться їх зустріч? (Швидкість вимірюється в метрах за секунду).

258. Нехай при рухові по прямій тіло масою m в точці з координатою х має потенціальну енергію . Довести, що:

_а) координата тіла при рухові по прямій задовольняє диференціальне рівняння

б) потенціальна енергія матеріальної точки масою m, яка здійснює гармонічне коливання , рівна , де (положення )

266. Матеріальна точка рухається по прямій. Довести, що:

_а) , якщо відома її швидкість в будь – який момент і координата точки в початковий момент рівна

б) , якщо відомо її прискорення в будь – який момент і швидкість в початковий момент рівна

274. Обчислити площу фігури, яка складається з точок, що лежать всередині еліпса. (Еліпсом називається фігура, координати точок якої задовольняють рівняння )

275. При яких значеннях параметра а, b, c визначений інтеграл:

а)

б)

в)

276. Знайти площу фігури обмежену лініями:

а) і

б)

277. Площа фігури обмежена лініями рівна . Знайти а.

278. Довести, що площа параболічного сегмента, який знаходиться між параболою і довільною прямою, паралельною осі абсцис, рівна площі прямокутника з вершинами в точках перетину прямої з параболою і основами перпендикулярів до осі абсцис, опущених із точок перетину.

Тема 23. Планіметричні задачі на обчислення.

[1]: 1620 – 1625, 1647, 1727, 1729, 1800, 1797, 1947, 1951

1620. У прямокутному трикутнику бісектриса прямого кута поділяє гіпотенузу у відношенні 7:9. В якому відношенні поділяє гіпотенузу висота?

1621. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 2 і 6. Знайти довжину бісектриси прямого кута.

1622. У прямокутному трикутнику бісектриса гострого кута поділяє катет на відрізки m і n. Знайти сторони трикутника.

1623. Основа висоти прямокутного трикутника, проведеної на гіпотенузу, віддаленої від катетів на 3 см і 4 см. Знайти довжину гіпотенузи.

1624. Довести, що радіус кола, вписаного в прямокутний трикутник, дорівнює піврізниці між сумою катетів і гіпотенузою.

1625. Знайти катети прямокутного трикутника, якщо їх відношення дорівнює 20: 21, а різниця між радіусами описаного та вписаного кіл 17 см.

1647. Сторони трикутника дорівнюють a, b, c. Знайти довжини його медіан.

1727. Знайти кути рівнобедреного трикутника, якщо центри вписаного і описаного навколо нього кіл симетричні відносно основи.

1729. Навколо кола радіуса R описано рівнобічну трапецію, менша сторона якої дорівнює 2а. Знайти діагональ трапеції.

1797. Сторона рівностороннього трикутника, вписаного в коло, дорівнює а. Визначити площу меншого сегмента, що відтинається стороною трикутника.

1800. У прямокутний трикутник вписано квадрат так, що одна з його сторін лежить на гіпотенузі. Відрізки гіпотенузи від вершин трикутника до вершин квадрата дорівнює m і n. Знайти площу квадрата.

1947. Знайти кути рівнобедреного трикутника, якщо його ортоцентр лежить на колі, вписаному в трикутник.

1951. Знайти кут паралелограма, якщо його висоти дорівнюють h₁ і h₂ , а периметр - 2p.