Упражнения
Найти объемы тел, образованных вращением фигуры, ограниченной линиями:
1).
вокруг: а) оси ОХ; б) оси ОУ.
.
2).
вокруг оси ОХ.
3).
вокруг: а) оси ОХ; б) оси ОУ.
4).
вокруг: а) оси ОХ; б) оси ОУ.
5).
вокруг: а) оси ОХ; б) оси ОУ.
6).
вокруг: а) оси ОХ; б) оси ОУ.
7).
вокруг: а) оси ОХ; б) оси ОУ.
.
Эскизы графиков некоторых кривых ( для справок).
3 Несобственные интегралы Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования (несобственные интегралы первого рода)
Пусть функция
непрерывна на промежутке
,
тогда она непрерывна на любом промежутке
и существует
.
Определение 3.1. Если существует
конечный предел
,
то говорят, что функция
интегрируема на
в несобственном смысле, величину
обозначают символом
и называют сходящимся несобственным
интегралом первого рода.
В противном случае говорят, что несобственный интеграл первого рода расходится.
Аналогично,
;
,
где
--
любое число.
Пример 3.1. Исследовать сходимость
.
По определению
имеем
,
то есть
несобственный интеграл первого рода
сходится и равен
.
Пример 3.2. Исследовать сходимость
.
1) Если
,
то
2)
Если
,
то
.
Таким образом,
данный интеграл сходится при
и расходится при
.
Несобственные интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы второго рода)
Пусть функция
непрерывна на промежутке
и не ограничена слева от точки
(ее называют особой точкой). Очевидно,
что функция
непрерывна на любом промежутке
,
заключенном в
.
Определение 3.2. Если существует
конечный предел
,
то говорят, что функция
интегрируема на
в несобственном смысле, величину
обозначают символом
и называют сходящимся несобственным
интегралом второго рода.
В противном случае говорят, что несобственный интеграл второго рода расходится.
Аналогично, если
--
особая точка, то, по определению,
.
Если внутренняя точка
-- точка
-- особая, то
.
Наконец, если
и
-- особые точки, то несобственный интеграл
определяется как сумма:
,
где
-- любая точка из
.
Пример 3.3. Исследовать сходимость
.
Точка
--
особая для подынтегральной функции
,
она не ограничена в окрестности
.
На любом отрезке
функция непрерывна, поэтому, по
определению, имеем
.
Следовательно, интеграл сходится.
Пример 3.4. Исследовать сходимость
.
Подынтегральная функция не ограничена в окрестности точки , поэтому точка особая.
1) Пусть
.
Тогда, по определению,
2) Если
,
то
.
Таким образом,
данный интеграл сходится при
и расходится при
.
Формула Ньютона-Лейбница для несобственных интегралов
Пусть функция
непрерывна на
--
конечная особая точка
или
),
функция
--
первообразная
на
,
тогда
.
Пример 3.5. Исследовать на сходимость и вычислить, если он сходится,
.
Данный интеграл – несобственный интеграл
первого рода. Функция
-- первообразная для подынтегральной
функции на промежутке
.
Тогда, по формуле Ньютона-Лейбница,
имеем
.
Следовательно, интеграл сходится.
Пример 3.6. Исследовать на сходимость несобственный интеграл второго рода
.
Особая точка подынтегральной функции
– точка
,
а ее первообразная
на
.
Тогда
.
Следовательно, данный интеграл расходится.
Основные методы вычисления несобственных интегралов