Модифікована таблиця невизначених інтегралів.

1. частковий випадок

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

Інтегрування раціональних дробів з квадратичним знаменником.

Для знаходження інтегралів вигляду , рекомендується спеціальна підстановка основана на виділенні повного квадрата у виразі .

Нагадаємо алгоритм виділення повного квадрата:

З отриманого результату випливає, що є сенс розглянути підстановку

Якщо то покладемо , в результаті отримаємо табличний інтеграл:

Таким чином у випадку

, де

Якщо то покладемо , в результаті отримаємо табличний інтеграл:

Таким чином у випадку

, де

Метод інтегрування по частинах

Інтегруванням по частинам називають перетворення інтеграла представленого у вигляді за формулою або .

Формули або називають формулами інтегрування по частинам.

Ідея використання методу інтегрування по частинам полягає

Обчислення інтегралів виду:

, , ,

де поліном.

Обчислення інтегралів наведеного типу робиться шляхом багатократного використання інтегрування по частинам. В якості функції вибирають .

Спрощення підінтегрального виразу полягає у послідовному у послідовному диференціюванні . В результаті поліном «спрощується» до константи, а саме , степінь полінома .

В результаті багатократного використання інтегрування по частинам такі інтеграли, відповідно, зводяться до розгляду інтегралів , , .

Обчислення інтегралів виду: , , ,

де поліном.

Інтегрування по частинам використовується для спрощення

Обчислення інтегралів виду: ,

Ідея обчислення інтегралів такого вигляду полягає у двократному використанні інтегрування по частинам з метою отримання лінійного рівняння для обчислення цього інтеграла.

Знайдемо інтеграл .

До інтеграла знов застосуємо формулу інтегрування по частинам:

Таким чином

Покладемо тоді отримаємо лінійне рівняння для :

звідси

Поняття алгебраїчного дробу. Розклад алгебраїчних дробів на найпростіші.

Алгебраїчним дробом називається функція , де та поліноми.

Алгебраїчний дріб називається правильним якщо степінь поліному менше степеня полінома , в протилежному випадку він називається неправильним.

Неправильний алгебраїчний дріб можна представити у вигляді: , де та деякі поліноми, причому алгебраїчний дріб правильний.

Таке представлення називається виділенням цілої частини в неправильному алгебраїчному дробу .

Для виділення цілої частини в алгебраїчному дробу треба розділити з остачею поліном на поліном . Частка це , а залишок це .

Найпростішими алгебраїчними дробами називаються алгебраїчні дроби вигляду:

1. 

2. 

3. , причому квадратне рівняння немає коренів.

4. , причому квадратне рівняння немає коренів.

Теорема. Правильний алгебраїчний дріб можна розкласти на суму найпростіших алгебраїчних дробів.