1. Теоремы о непрерывности и дифференцируемости сложной функции
Теорема
1. Пусть
сложная функция
определена
в точке
и некоторой ее окрестности и пусть
выполнены условия: а) функции
непрерывны
в точке
б)
функция
непрервына в соответствующей точке
Тогда
сложная функция
непрерывна
в точке
Теорема
2. Пусть
сложная функция
определена
в точке
и некоторой ее окрестности и пусть
выполнены условия: а) функции
дифференцируемы
в точке
б) функция
дифференцируема в соответствующей
точке
Тогда сложная функция
дифференцируема
в точке
и
имеют место равенства
В
случае, когда внутренние функции
зависят от одной переменной, сложная
функция
является также функцией одной переменной;
при этом
Доказательство проведем для второго случая. Так как функция дифференци-
руема
в точке
то имеет место представление
С
другой стороны, так как функции
дифференцируемы в рассматриваемой
точке
то имеют место асимптотические разложения
Подставляя
это в (3) (при этом учитываем, что при
приращения
также стремятся к нулю, а значит,
),
будем иметь
Это
означает, что функция
дифференцируема в точке
и что имеет место равенство (2). Теорема
доказана.
Например,
если
то
поэтому
Аналогично
вычисляем
2. Неявная функция и её дифференцирование
Рассмотрим
уравнение
в области
Определение
1. Говорят,
что уравнение
задаёт в области
функцию
неявно,
если для каждого фиксированного
уравнение
имеет единственное
решение
Тогда
функция
каждому
ставит в соответствие решение
этого уравнения (т.е.
).
Ясно,
что если неявная функция
существует,
то имеет место тождество
При этом часто в
явном виде функцию
получить
невозможно. Например, уравнение
определяет в окрестности каждой
фиксированной точки
некоторую функцию
.
Однако найти эту функцию в явном виде
не представляется возможным.
Обращаем
также внимание на то, что неявная функция
существенно
связана с областью
В одной из областей для одного и того
же уравнения неявная функция может
существовать, в другой – нет. Например,
уравнение
в области
задаёт функцию
неявно, а в области
оно не задаёт никакой неявной функции
так как в этой области указанное
уравнение имеет два решения
для
каждого
Теорема 3 (о существовании неявной функции). Пусть выполнены условия:
1)
точка
является решением уравнения
(т.е.
)
2)
в некотором прямоугольнике
функция
и её частные производные
непрерывны; 3)
Тогда
существует прямоугольник
такой, что в этом прямоугольнике
уравнение
определяет
некоторую функцию
неявным
образом, причём
Кроме того, функция
является
непрерывно дифференцируемой в интервале
и имеет место
равенство
Например, указанное выше уравнение определяет в окрестности каждой фиксиро-
ванной
точки
некоторую функцию
так как
при таких
частная производная
Производную этой функции вычисляем по
формуле (4):
где
удовлетворяет уравнению
.
Аналогично определяются функции двух и бо̀льшего числа переменных, заданные неявно. Приведем формулировку теоремы о существовании неявной функции двух переменных.
Теорема 4. Пусть выполнены условия:
1)
точка
является решением уравнения
(т.е.
)
2)
в некоторой области
функция
и её частные производные
непрерывны; 3)
Тогда существует область
такая,
что в этой области уравнение
определяет
некоторую функцию
неявным
образом, причём
Кроме того, функция
имеет
в прямоугольнике
непрерывные частные производные,
которые вычисляются по формулам
Например,
для функции
заданной
неявно уравнением
по формулам (5) находим
где
удовлетворяет уравнению
