1. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Пусть поверхность определена в некоторой окрестности точки

Определение 1. Геометрическое место касательных прямых, проведенных к всевозможным гладким кривым , проходящим через точку называется касательной плоскостью к поверхности в точке Прямая , проходящая через точку перпендикулярно касательной плоскости в этой точке, называется нормалью к поверхности в точке

Пусть поверхность задана уравнением и пусть кривая проходит через точку и имеет касательную в этой точке. Зададим эту кривую параметрически уравнениями и пусть точка соответствует параметру Тогда вектор является касательным вектором к кривой в точке . Так как кривая лежит на поверхности , то выполняется тождество Пусть – проекция точки на плоскость Предположим, что функция дифференцируема в точке Тогда сложную функцию можно дифференцировать по в точке . Сделав это, получим

Это равенство показывает, что вектор ортогонален касательному вектору

к кривой . Нетрудно видеть, что это утверждение верно для любой гладкой кривой , проходящей через точку , поэтому вектор перпендикулярен к касательной плоскости проходящей через точку Пусть произвольная точка плоскости Из аналитической геометрии вытекает, что уравнение этой плоскости имеет вид

Мы приходим к следующему утверждению.

Теорема 1. Пусть поверхность задана уравнением и пусть функция дифференцируема в точке Тогда в точке поверхность имеет касательную плоскость, уравнение которой записывается в виде

Если поверхность задана неявно уравнением , то уравнение касательной плоскости к ней в точке имеет вид

Заметим, что уравнение (3) выводится из уравнения (2), если в него подставить частные производные функции вычисляемые по ранее полученным формулам

Учитывая, что вектор является направляющим вектором нормали к поверхности в точке , то уравнение нормали будет иметь вид⁴

в случае явного задания поверхности и

в случае неявного задания поверхности

В уравнении (2) величина является приращением аппликаты касательной плоскости, а величины – приращениями аргументов, поэтому равенство (2) можно записать так: Отсюда вытекает следующий геометрический смысл дифференциала: дифференциал функции в точке равен приращению аппликаты касательной плоскости при переходе из точки в точку

2. Локальный экстремум функции нескольких переменных, необходимое условие экстремума. Достаточные условия существования экстремума

Пусть функция определена в точке и некоторой её окрестности.

Определение 2. Говорят, что функция достигает в точке локального максимума, если такое, что

Е сли для указанных имеет место противоположное неравен-

ство , то го-

ворят, что в точке функция достигает локального минимума. Точки локального минимума и локального максимума носят общее название локального экстремума⁵.

Определение локального экстремума удобно перефразировать в терминах приращений.

Определение 2*. Функция достигает в точке локального минимума, если

Если же

то функция достигает в точке локального максимума.

Теорема 2 (необходимое условие локального экстремума). Если в точке функция достигает локального экстремума, то либо (если указанные частные производные существуют), либо хотя бы одна из не существует.

Доказательство вытекает из того, что функции одной переменной

будет иметь экстремумы в точках и соответственно, поэтому для них выполняется необходимое условие экстремума:

либо либо или не существует.

Заметим, что точки , для которых выполняется необходимое условие экстремума, носят название критических точек функции В критической точке может реализоваться локальный экстремум, а может и не реализоваться. Например, критическая точка является точкой минимума функции но не является точкой локального экстремума для функции Характер критической точки (с точки зрения существования в ней локального экстремума) устанавливается с помощью приводимой ниже теоремы 3. Для формулировки этой теоремы вводятся следующие обозначения:

Теорема 3 (достаточные условия локального экстремума). Пусть функция в критической точке и некоторой её окрестности имеет частные производные до второго порядка включительно, причем вторые частные производные непрерывны в точке Тогда имеют место следующие утверждения:

1. если то в точке функция достигает локального минимума;

2. если то в точке функция достигает локального максимума;

3. если то в точке функция не имеет локального экстремума.

Во всех остальных случаях ничего сказать о локальном экстремуме нельзя. Нужны дополнительные исследования.

Доказательство этой теоремы основано на формуле Тейлора

Заменяя здесь и учитывая, что – критическая точка и что

запишем формулу Тейлора в виде

Нам надо установить знак квадратичной формы в некоторой окрестности Из теории квадратичных форм известно, что

в случае квадратичная форма положительно определенна, т.е.

Тогда (см. (4)) при малых и приращение поэтому в точке будет (см. определение 2*) локальный минимум функции .

Если же то квадратичная форма будет отрицательно определенна: В этом случае из (4) вытекает, что при малых и приращение поэтому в точке будет (см. определе-

ние 2*) локальный максимум функции .

Если то в любой окрестности квадратчная форма

имеет по-крайней мере два значения разных знаков, поэтому и приращение также будет иметь по-крайней мере два значения разных знаков. В этом случае функция не будет иметь локального экстремума в точке . Теорема доказана.