1.2. Частота события. Статистическое определение вероятности

Пусть некоторое испытание повторяется n раз, при этом в повторениях появляется событие А. Тогда отношение называется частотой события А в данной серии испытаний. Значения частоты, получаемые в разных сериях испытаний, обычно различаются.

Практика показывает, что при проведении испытаний в одинаковых условиях частота события обладает свойством устойчивости, т.е. с ростом числа испытаний она постепенно утрачивает случайный характер. Это означает, что при больших n значения , получаемые в разных сериях независимых испытаний, почти всегда лишь мало отличаются от некоторого числа р. Такое число называется вероятностью события А и обозначается . Данное определение вероятности называется статистическим.

Значение вероятности представляет собой среднюю долю испытаний, в которых наступает событие А, и служит мерой объективной возможности появления этого события в отдельно взятом испытании. Поскольку , то естественно считать, что . Частота достоверного события в любой серии испытаний равна единице, а невозможного – нулю, поэтому целесообразно положить , .

Пусть А и В – несовместные события, первое из которых в результате n испытаний появляется раз, второе – раз. Одновременное появление событий А и В в опыте невозможно, поэтому

.

Если – попарно несовместные события, то по индукции можно получить равенство , откуда естественно положить .

Знание вероятности случайного события, вообще говоря, не позволяет предсказать, произойдёт ли это событие в отдельно взятом испытании. Исключение составляют события, вероятности которых очень близки к единице или к нулю. При многократном повторении испытания они почти всегда происходят или, наоборот, почти никогда не происходят: исключения настолько редки, что на практике их можно считать, соответственно, достоверными или невозможными. Такие события называются практически достоверными и практически невозможными. В соответствии с принципом практической уверенности считают, что в каждом отдельном испытании практически достоверное событие происходит, а практически невозможное – не происходит.

На практике в качестве приближённого значения вероятности того или иного события может быть принята его частота, найденная при достаточно большом числе независимых опытов, проводимых в одинаковых условиях. Основной недостаток статистического определения состоит в том, что для достаточно точного нахождения вероятности требуется проведение большого числа испытаний.

1.3. Аксиомы теории вероятностей. Основные следствия из аксиом

Построение логически полноценной теории вероятностей основано на аксиоматическом определении вероятности. В настоящее время общепринятой является система аксиом, предложенная А.Н. Колмогоровым.

Пусть  – пространство элементарных событий некоторого испытания, которое предполагается конечным или счётным. Само  будем называть достоверным событием, его пустое подмножество  – невозможным событием, остальные подмножества – случайными событиями. Под операциями над событиями будем понимать соответствующие операции над множествами.0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

Пусть F – множество всех подмножеств , называемое полем событий испытания. Вероятностью называется функция , которая каждому событию ставит в соответствие числовое значение и удовлетворяет следующим аксиомам.

Аксиома 1. Вероятность любого события А неотрицательна: .

Аксиома 2. Вероятность достоверного события равна единице: .

Аксиома 3 (аксиома сложения). Вероятность суммы попарно несовместных событий равна сумме их вероятностей.

Таким образом, вероятность представляет собой неотрицательную, нормированную, аддитивную функцию подмножеств пространства . Если пространство  несчётно, то определение вероятности на всех его подмножествах в соответствии с приведёнными аксиомами может оказаться невозможным и тогда в качестве поля событий F приходится брать некоторый класс подмножеств. В случае бесконечного пространства  аксиома сложения полагается справедливой также для счётного числа событий.

Приведём простейшие следствия из аксиом.

Следствие 1. .

Доказательство. События А и несовместны, поэтому из аксиомы сложения имеем . Поскольку , то из аксиомы 2 получим .

Следствие 2. .

Доказательство. Из аксиомы 1 имеем , а из следствия 1 имеем , поэтому .

Следствие 3. .

Доказательство. События  и  противоположны, поэтому из следствия 1 имеем . Из аксиомы 2 находим .

Следствие 4. Если , то и .

Доказательство. Из включения следует, что событие В есть сумма несовместных событий А и , откуда в силу аксиомы сложения получим , т.е. . Но из аксиомы 1 имеем , поэтому .

Следствие 5. Если попарно несовместны и образуют полную группу, т.е. при и , то .

Доказательство. Из определения полной группы и аксиом 2 и 3 следует, что .

Аксиомы и следствия из них определяют общие свойства вероятности, аналогичные свойствам частоты.