3.2. Функция распределения случайного вектора. Плотность распределения непрерывного случайного вектора

Пусть – двумерный случайный вектор. Тогда функция называется функцией распределения этого вектора. Функции распределения и СВ Х и Y выражаются через следующим образом:

Из приведённых формул видно, что зная функцию распределения вектора , можно найти функцию распределения каждой из СВ Х и Y.

Пусть, далее, – непрерывный случайный вектор, а – его функция распределения. Тогда функция называется плотностью распределения (или плотностью вероятности) вектора . Плотности распределения и СВ Х и Y могут быть найдены через по формулам:

, .

Отсюда видно, что зная плотность распределения вектора , можно найти плотность распределения каждой из СВ Х и Y.

Понятия функции и плотности распределения легко обобщаются на случай n-мерного вектора :

,

.

3.3. Зависимость и независимость св

Пусть – двумерный случайный вектор. Случайные величины Х и Y называются независимыми, если выполняется равенство . В противном случае они называются зависимыми. Независимость СВ Х и Y означает, что при любых события и независимы.

Теорема 1. Непрерывные СВ Х и Y независимы в том и только в том случае, если выполняется равенство .

Теорема 2. Дискретные СВ Х и Y независимы в том и только в том случае, если при любых выполняется равенство

.

Из определения независимости и приведённых теорем следует, что зная законы распределения независимых СВ Х и Y, всегда можно найти закон распределения вектора . Если же СВ Х и Y зависимы, то знания их законов распределения недостаточно, чтобы найти закон распределения вектора .

Рассмотрим, далее, случайный вектор . Случайные величины называются независимыми, если выполняется равенство , где – функция распределения СВ ( ). Необходимым и достаточным условием независимости непрерывных СВ является выполнение равенства

,

где – плотность распределения СВ ( ). Условием независимости дискретных СВ является выполнение равенства

при любых .

3.4. Распределение “хи-квадрат”. Распределение Стьюдента

Пусть – независимые СВ, распределённые по стандартному нормальному закону. Тогда распределение непрерывной СВ называется распределением “хи-квадрат” (или распределением Пирсона) с n степенями свободы. График плотности этого распределения имеет вид:

При имеем . Для нахождения  из условия при различных n и р составлены таблицы. Можно показать, что , . При увеличении n распределение СВ медленно приближается к нормальному распределению.

Непрерывная СВ , где и СВ Х и независимы, называется дробью Стьюдента с n степенями свободы. График плотности этого распределения имеет вид:

При любом х имеем . Для нахождения  из условия при различных n и р составлены таблицы. При увеличении n распределение СВ достаточно быстро приближается к стандартному нормальному распределению.