5. Примеры однопараметрических моделей.

Однопараметрические модели.( зависимость от одной переменной)

Наиболее распространенные методы регрессионного анализа являются параметрическими, большая их часть основана на предположении о нормальном распределении данных наблюдений, поэтому в каждом случае анализа необходима предварительная проверка данных нормальному распределению. Линейная модель. Если коэффициент корреляции по абсолютной величине близок к единице, то для построения зависимости используется линейная модель. Для других случаев используются более сложные нелинейные модели. Модель простой линейной регрессии имеет вид: y=b*x+ a (6) где y – зависимая переменная (отклик), х – независимая переменная-регрессор (фактор), b – коэффициент регрессии, a – смещение по оси ординат.  Смещение по оси ординат соответствует точке на оси Y (вертикальной оси), где прямая регрессии пересекает эту ось. Коэффициент регрессии bчерез соотношение b = tg(a) указывает на угол наклона прямой.  Для получения параметров модели а и b чаще всего используют метод наименьших квадратов, основанный на минимизации среднеквадратической ошибки модели. Т.е. оптимальным решением задачи построения линейной регрессии является такая прямая, для которой сумма квадратов вертикальных расстояний до отдельных точек данных является минимальной.  При выполнении регрессионного анализа необходимо получить оценки, позволяющие дать прогноз с определенной точностью и вероятностью. При нормальном законе распределения условия будут удовлетворены, если оценить: 1.Ожидаемые значения коэффициентов b и а.

 (7)   (8) где   - значения независимого признака;  - среднее значение независимого признака;  - фактические значения результативного признака, полученные по данным наблюдений;  - среднее фактических значений результативного признака. 2.Стандартную (среднюю квадратическую) ошибку модели.

 (9),  где   - фактические значения результативного признака, полученные по данным наблюдений;  - рассчитанные значения результативного признака; n - объем выборки; m – число параметров в уравнении регрессии

5. Элементы математического программирования используемые в моделировании.

Математическое программирование, математическая дисциплина, посвященная теории и методам решения задач о нахождении экстремумов функций на множествах, определяемых линейными и нелинейными ограничениями (равенствами и неравенствами).

Наличие ограничений делает задачи математического программирования принципиально отличными от классических задач математического анализа по отысканию экстремальных значений функции. Методы математического анализа для поиска экстремума функции в задачах математического программирования оказываются непригодными.

М. п. — раздел науки об исследовании операций, охватывающий широкий класс задач управления, математическими моделями которых являются конечномерные экстремальные задачи. Задачи М. п. находят применение в различных областях человеческой деятельности, где необходим выбор одного из возможных образов действий, например, при решении многочисленных проблем управления и планирования производственных процессов, в задачах проектирования и перспективного планирования.

Для решения задач математического программирования разработаны и разрабатываются специальные методы и теории. Так как при решении этих задач приходится выполнять значительный объем вычислений, то при сравнительной оценке методов большое значение придается эффективности и удобству их реализации на ЭВМ.

Наименование "М. п." связано с тем, что целью решения задач является выбор программы действий.

Математическое программирование можно рассматривать как совокупность самостоятельных разделов, занимающихся изучением и разработкой методов решения определенных классов задач.

К математическому программированию относится:

1.Линейное программирование: состоит в нахождении экстремального значения линейной функции многих переменных при наличии линейных ограничений, связывающих эти переменные.

Линейное программирование применяется при решении экономических задач, в таких задачах как управление и планирование производства; в задачах определения оптимального размещения оборудования на морских судах, в цехах; в задачах определения оптимального плана перевозок груза (транспортная задача); в задачах оптимального распределения кадров и т.д.

Задача линейного программирования в стандартной форме с двумя переменными имеет вид:

Существует несколько методов решения задач ЛП:

Графический метод решения задачи ЛП;

Симплексный метод;

Решение задачи ЛП средствами табличного процессора Excel.

2.Нелинейное программирование: целевая функция и ограничения могут быть нелинейными функциями.

Задачами нелинейного программирования называются задачи математического программирования, в которых нелинейны и (или) целевая функция, и (или) ограничения в виде неравенств или равенств.

Многие задачи нелинейного программирования могут быть приближены к задачам линейного программирования, и найдено близкое к оптимальному решению. Встречаются задачи квадратичного программирования, когда функция есть F(x) полином 2-ой степени относительно переменных, а ограничения линейны. В ряде случаев может быть применён метод штрафных функций, сводящей задачу поиска экстремума при наличии ограничений к аналогичной задаче при отсутствии ограничений, которая обычно решается проще.

Но в целом задачи нелинейного программирования относятся к трудным вычислительным задачам. При их решении часто приходится прибегать к приближенным методам оптимизации. Мощным средством для решения задач нелинейного программирования являются численные методы. Они позволяют найти решение задачи с заданной степенью точности.

Для решения задач НП используется метод множителей Лагранжа. Метод множителей Лагранжа позволяет отыскивать максимум (или минимум) функции при ограничениях-равенствах. Основная идея метода состоит в переходе от задачи на условный экстремум к задаче отыскания безусловного экстремума некоторой построенной функции Лагранжа.

Особым случаем в задачах линейного и нелинейного программирования является случай, когда на оптимальные решения накладывается условие целочисленности. Такие задачи относятся к целочисленному программированию.

В целом ряде решаемых задач линейного программирования на переменные накладывается дополнительное условие их целочисленности. Действительно, ведь нельзя изготовить, скажем, 1/2 стола или сшить 1/3 костюма. Когда наложено дополнительное условие целочисленности переменных , соответствующая задача носит название задачи целочисленного линейного программирования.

Простое округление до целых чисел здесь не помогает - план может получиться не оптимальным. Поэтому приходится разрабатывать специальные алгоритмы решения таких задач, к наиболее известным из которых относятся так называемые алгоритмы Гомори, основанные на так называемой идее отсечения.

3.Динамическое программирование: для отыскания оптимального решения планируемая операция разбивается на ряд шагов (этапов) и планирование осуществляется последовательно от этапа к этапу. Однако выбор метода решения на каждом этапе производится с учетом интересов операции в целом. Решение задач методами динамического программирования проводится на основе сформулированного Р.Э.Беллманом принципа оптимальности: оптимальное поведение обладает тем свойством, что каким бы ни было первоначальное состояние системы и первоначальное решение, последующее решение должно определять оптимальное поведение относительно состояния, полученного в результате первоначального решения.

4.Теория графов: с помощью теории графов решаются многие сетевые задачи, связанные с минимальным протяжением сети, построение кольцевого маршрута и т.д.

5.Стохастическое линейное программирование Бывает много практических ситуаций, когда коэффициенты ci целевой функции, коэффициенты aij в матрице коэффициентов, коэффициенты ограничений bi - являются случайными величинами. В этом случае сама целевая функция становится случайной величиной, и ограничения типа неравенств могут выполняться лишь с некоторой вероятностью. Приходится менять постановку самих задач с учётом этих эффектов и разрабатывать совершенно новые методы их решения. Соответствующий раздел получил название стохастического программирования.

6.Геометрическое программирование. Под задачами геометрического программирования понимают задачи наиболее плотного расположения некоторых объектов в заданной двумерной или трехмерной области. Такие задачи встречаются в задачах раскроя материала для производства каких-то изделий и т.п. Это - еще недостаточно разработанная область математического программирования и имеющиеся здесь алгоритмы в основном ориентированы на сокращение перебора вариантов с поиском локальных минимумов.

7.Задачами теории массового обслуживания является анализ и исследование явлений, возникающих в системах обслуживания. Одна из основных задач теории заключается в определении таких характеристик системы, которые обеспечивают заданное качество функционирования, например, минимум времени ожидания, минимум средней длины очереди.

8.Теория игр пытается математически объяснить явления, возникающие в конфликтных ситуациях, в условиях столкновения сторон. Такие ситуации изучаются психологией, политологией, социологией, экономикой.

Теория игр - теория математических моделей принятия решений в условиях неопределенности, в условиях столкновения, конфликтных ситуациях, когда принимающий решение субъект (игрок), располагает информацией лишь о множестве возможных ситуаций, в одной из которых он в действительности находится,о множестве решений, которые он может принять, и о количественной мере того выигрыша, который он мог бы получить, выбрав в данной ситуации данную стратегию.