Равнопеременное вращение

2.17. Вращательное движение твердого тела на промежутке времени называется равнопеременным, если угловое ускорение в этом промежутке времени постоянно(  = const).

Интегрируя один раз первую из формул (2.7) при  = const и начальных условиях , где - начальная угловая скорость, получаем:

(2.11)

2.18. Уравнение (2.11) называется законом изменения угловой скорости при равнопеременном вращательном движении твердого тела.

2.19. Из формулы (2.11) видим, что, если при вращательном движении на промежутке времени модуль угловой скорости возрастает, то движение будет ускоренным ( ,  и  имеют одинаковые знаки), в противном случае – замедленным ( ,  и  имеют разные знаки).

Если известна угловая скорость тела в два момента времени, например, и , то из (2.11) можно найти постоянное угловое ускорение в промежутке времени ( ).

(2.12)

Интегрируя уравнение (2.11), при начальных условиях , , где - начальные угол поворота и угловая скорость соответственно, получаем:

(2.13)

2.20. Уравнение (2.13) называется законом равнопеременного вращения твердого тела.

Пример 2.6: Якорь электродвигателя вращается, делая 3000 об/мин. После выключения двигателя он остановился, сделав 1710 оборотов. Определить модуль углового ускорения якоря, считая его вращение после выключения двигателя равнопеременным (равнозамедленным).

Решение: Положим в момент выключения двигателя. Тогда . Такую угловую скорость имел якорь в момент выключения двигателя. Пусть якорь остановился в момент времени , следовательно, , . Уравнения (2.11), (2.13) для момента времени при равнозамедленном движении принимают вид:

,

Из первого уравнения имеем: . Подставим значение во второе уравнение, имеем: .

Тогда:

.

Ответ: Угловое ускорение .

Пример 2.7. Первоначально покоившееся тело, вращаясь равноускоренно, приобретает за первые 15с угловую скорость , равную 45 рад/с. Сколько оборотов сделало тело за 15с?

Решение. Пусть в начальном положении тела По условию задачи, начальная угловая скорость тела . Так как тело вращается равноускоренно, то его угловое ускорение и угол  поворота за первые , вычисленные по формулам (2.12) и (2.13), соответственно равны: и . В нашем случае . Зная угол поворота , по формуле определяется соответствующее ему число оборотов тела : оборота. Ответ: Тело сделало оборота.

§ 2.4. Скорости и ускорения точек вращающегося тела

Переходим к определению скоростей и ускорений отдельных точек вращающегося тела. Пусть тело вращается ускоренно в положительном направлении с угловой скоростью и угловым ускорением . Простейшие наблюдения показывают, что все точки вращающегося тела движутся по окружностям, лежащим в параллельных плоскостях, перпендикулярных к оси вращения. Следовательно, вектор скорости точки перпендикулярен плоскости и направлен по касательной к траектории (перпендикулярно к радиусу траектории-окружности) в сторону вращения тела (рис. 2.6а, 2.6б). Кроме того, прямая линия, проходящая через любую точку тела параллельно оси вращения, движется поступательно. Следовательно, все точки тела, лежащие на этой прямой и равноудаленные от оси вращения, движутся с одинаковыми скоростями и ускорениями. Точка тела и вид её траектории сверху показаны на рис. 2.6 б.

Определим величины скоростей и ускорений произвольной точки вращающегося тела, отстоящей на расстоянии от оси вращения. Так как траектория точки известна, будем предполагать, что движение задано естественным способом . Начало криволинейной системы координат и положительное направление оси можно выбрать произвольно. В нашем случае начало принято на неподвижной плоскости , а положительное направление оси совпадает с направлением движения точки (рис.2.6). Тогда, по известному соотношению с учетом формулы для алгебраического значения скорости (1.53) и с учетом (2.5) получаем:

.

Окончательно,

(2.14)

2.21. Алгебраическая величина скорости точки равна произведению угловой скорости тела на расстояние от точки тела до оси вращения.

2.22. Вектор скорости точки вращающегося тела лежит в плоскости, перпендикулярной к оси вращения и направлен перпендикулярно к радиусу траектории точки по касательной к окружности в сторону вращения тела (рис. 2.6 а,б).

Из формулы (2.14) видно, что скорости точек линейно возрастают при удалении от оси вращения (рис. 2.8а).

Величины касательного и нормального ускорений точек тела определим по формулам (1.55) с учетом формул (2.7), (2.14).

Или

(2.15)

2.23. Алгебраическая величина касательного ускорения точки равна произведению углового ускорения тела на расстояние от точки тела до оси вращения.

2.24. Вектор касательного ускорения точки вращающегося тела лежит в плоскости, перпендикулярной к оси вращения и направлен перпендикулярно к радиусу траектории точки (по касательной к окружности) в направлении, соответствующем алгебраической величине углового ускорения (рис. 2.7б).

(2.16)

2.25. Величина нормального ускорения точки равна произведению квадрата угловой скорости вращающегося тела на расстояние от точки тела до оси вращения.

2.26. Вектор нормального ускорения точки вращающегося тела лежит в плоскости, перпендикулярной к оси вращения, и направлен по радиусу траектории точки к оси вращения - центру траектории точки (рис. 2.7б).

На рисунках 2.8а, 2.8б, 2.8в показаны законы изменения линейных скорости точки , касательного ускорения точки и нормального ускорения точки в зависимости от расстояния , соответственно. Направления векторов соответствуют картине вращения, представленной на рисунках 2.7.

Вектор полного ускорения может быть построен по известным векторам касательного и нормального ускорений (рис.2.7б), пользуясь правилом параллелограмма, который в рассматриваемом случае переходит в прямоугольник. Модуль вектора полного ускорения c учетом (2.15), (2.16) вычисляется по следующей формуле:

(2.17)

Тангенс угла отклонения вектора полного ускорения от направления вектора нормального ускорения вычисляется с учетом (1.57) по формуле:

. (2.18)

Отсюда видно, что , если . Другими словами, при вектор полного ускорения точки тела, вращающегося относительно неподвижной оси, отклоняется от вектора в направлении отсчет положительных углов вращения .