1.2. Метод проекций для определения векторов скоростей точек плоской фигуры.

Спроецируем уравнение (3.7) на неподвижные оси или, что то же самое, на оси системы координат . Получим два уравнения для определения любых двух скалярных величин:

(3.10)

Если удается найти , , то проекциям вектора находится и сам вектор . Модуль вектора скорости точки определяется по формуле:

(3.11)

Пример 3.1. Кривошип кривошипно-ползунного механизма длиной равномерно вращается относительно неподвижной точки с угловой скоростью , приводя в движение весь механизм. Определить мгновенную скорость точки ползуна и угловую скорость шатуна в показанном на рисунке положении механизма, если длина шатуна , . В точках и имеют место шарнирные соединение (подшипники).

Решение. Кривошипно-шатунный механизм совершает плоскопараллельное движение. При этом кривошип вращается относительно неподвижной точки против часовой стрелки. Модуль вектора скорости точки кривошипа может быть определен по формуле (2.16). . Сам вектор направлен перпендикулярно к кривошипу в сторону его вращения, как показано на рис. к примеру 3.1б. Но, как легко видеть, точка является общей точкой для кривошипа и шатуна . Поэтому при определении скорости точки , принадлежащей шатуну , по формуле (3.7) или из системы уравнений (3.10), точку примем за полюс. Ползун совершает прямолинейное поступательное движение, что следует из устройства этой связи. Все точки ползуна, включая точку , совершая прямолинейное движение. Точка движется к точке . Поэтому и вектор скорости точки направлен к точке . Далее перенесем мысленно в точку вектор скорости . Это принято делать для наглядности геометрических построений по формуле (3.7) и одновременного контроля механики явления. Направление вектора скорости известно – он перпендикулярен к оси шатуна и может быть направлен или так, как показано на рис. к примеру, или в противоположную сторону. Но по (3.7) вектор , направление которого точно установлено, должен быть диагональю параллелограмма, построенного на векторах (этот вектор известен и по направлению и по величине) и , для которого изначально известна только линия действия. Поэтому вектор направлен так, как показано на рис. к примеру. В точке строится параллелограмм, соответствующий формуле сложения векторов скоростей (3.7). Если построения выполнены строго в масштабе, то в данном примере по известной одной стороне параллелограмма длиной можно найти и диагональ параллелограмма и другую его сторону. Но мы воспользуемся методом проекций. Спроецируем уравнение (3.7) на оси неподвижной системы координат . (Проецируем каждый вектор и найденную проекцию подставляем в (3.10)).

Проекция уравнения (3.7) на ось : (1)

Проекция уравнения (3.7) на ось : (2)

Из второго уравнения получим . Подставляя это значение в первое уравнение, получаем. . Отсюда . Угловую скорость шатуна определяем по формуле (3.8). Ответ: