7.3.2.2. Визначення площі плоскої поверхні

Площу плоского контуру можна визначити одним із таких способів: аналітичним, геометричним - за формулами геометрично правильних фігур, планіметром, курвіметром і палеткою з паралельними лініями, палеткою точковою, або квадратною.

Розглянемо суть кожного з названих способів.

Аналітичний спосіб. Аналітично площу визначають за координатами x, у кутових точок контуру. Площа цієї фігури дорівнює алгебраїчній сумі площ трапецій, основами яких є ординати точок, а висотами - різниці абсцис. Площа трапеції дорівнює добутку півсуми основ на висоту. Враховуючи це, маємо:

S=1/2[(x₁-x₂)(y₁-y₂)+(x₂-x₃)(y₂-y₃)+…+

+(x_n-1-x_n)(y_n-1-y_n)+(x_n-x₁)(y_n-y₁)]. (7.5)

Геометрично площу визначають за формулами геометрично правильних фігур - трикутника, квадрата, прямокутника, трапеції тощо, на які розбивають шукану площу. Додаючи площі останніх і враховуючи масштаб креслення, одержують площу всієї фігури.

Великі площі криволінійних ділянок вимірюють за допомогою приладу - планіметра. Теорія цього приладу і практика вимірювання ним площ на плані детально розглядається в курсі геодезії.

Обчислюють площу, виміряну планіметром, за формулами:

S = c(N₂-N₁-q),

якщо полюс планіметра знаходиться всередині контуру фігури;

S = c(N₂-N₁),

якщо полюс знаходиться поза контуром фігури,

де N₁ - показання лічильника планіметра до обведення контуру; N₂ - показання лічильника після обведення контуру шпилем планіметра; с - ціна поділки планіметра, або його коефіцієнт, який визначається шляхом вимірювання заздалегідь відомої площі в масштабі плану при певній довжині обвідного важеля планіметра і ділення цієї площі на різницю відліків до і після обведення контуру. Ціна поділки планіметра залежить від довжини обвідного важеля і масштабу плану; q - друга стала планіметра для даної довжини важеля, яку визначають за формулою q = N₂-N₁-(N'₂-N'₁), де N₁, N₂, N₁', N'₂ - показання лічильника планіметра при вимірюванні однієї і тієї ж площі при розміщенні полюса поза контуром і всередині контуру фігури.

Щоб підвищити точність визначення площі фігури, її вимірюють двічі з перестановкою полюса. Похибка є допустимою, якщо різниця між результатами двох вимірювань не перевищує 1/200 вимірюваної площі. При допустимому розходженні за остаточну величину беруть середнє значення із двох вимірів.

При визначенні площ планіметром перевагу надають випадку, коли полюс знаходиться поза контуром фігури. При цьому обчислювати площі простіше й зручніше.

При визначенні площ курвіметром і палеткою з паралельними лініями, відстань між останніми мають дорівнювати 0,5; 1,0, або 2,0 см залежно від розмірів вимірюваної площі.

Визначаючи площу цим способом палетку накладають так, щоб деякі дві її лінії дотикалися контуру в двох точках, наприклад, а і b (рис. 7.5). Відрізки ліній палетки, які знаходяться в межах контуру послідовно прокочують (вимірюють) курвіметром їхні довжини цим приладом автоматично додаються і одержують площу контуру на плані в см², якщо відстань між лініями палетки дорівнює 1 см. Після цього площу згідно з масштабом переводять в м².

Якщо відстань між лініями палетки дорівнює 0,5, або 2,0 см, то щоб одержати площу контуру, різницю відліків на курвіметрі слід поділити на 2 в першому випадку і помножити на 2 в другому.

При визначенні площ курвіметром прокочувані відрізки прямих беруть за середні лінії трапецій, висота яких дорівнює відстані між сусідніми лініями палетки, а криволінійні частини контуру, які відповідають цим середнім лініям, - за прямолінійні бічні сторони трапецій.

Рис. 7.5. Вимірювання площі за допомогою