5.3. Характеристики варіації

Для вимірювання та оцінки варіації використовують абсолютні та відносні характеристики. До абсолютних належать: розмах варіації (варіаційний розмах), середнє лінійне відхилення, середнє квадратичне відхилення, дисперсії; до відносних – коефіцієнти варіації, нерівномірності, локалізації, концентрації.

Розмах варіації (R) характеризує діапазон варіації ознаки і являє собою різницю між максимальним (x_max) і мінімальним (x_min) значеннями ознаки:

R = x_max - x_min. Оскільки розмах варіації визначається на основі тільки двох крайніх значень ознак сукупності, він дає уявлення про загальний розмір варіації і не дозволяє встановити рівень варіації всередині сукупності. З цієї причини його використовують для попередньої наближеної оцінки варіації.

Більш точними показниками варіації є середнє лінійне відхилення ( ) та середнє квадратичне відхилення ( ), які ґрунтуються на відхиленні всіх індивідуальних значень ознаки від середньої величини ( ). Оскільки алгебраїчна сума відхилень =0, то використовують або модулі , або квадрати відхилень. Середнє лінійне відхилення і середнє квадратичне відхилення є іменованими величинами і визначаються в одиницях вимірювання ознаки.

Для згрупованих даних і розраховуються за принципом зваженої середньої:

= ; = .

За первинними не згрупованими даними зазначені характеристики варіації визначаються за принципом простої середньої:

= ; = .

Середнє лінійне і середнє квадратичне відхилення за змістом ідентичні, через математичні властивості > . У симетричному, близькому до нормального, розподілі , R= .

Дисперсія– це середній квадрат відхилень . Застосування дисперсії більш широке, ніж тільки для оцінки варіації. Так, її використовують і при вимірюванні взаємозв`язків. Для ознак метричної шкали визначення дисперсії проводиться за такими формулами:

Для альтернативної ознаки, варіація якої має два взаємовиключні значення – “1” (наявність) та “0” (відсутність), а розподіл характеризується відповідно двома частками – p і q (p+q=1, звідки p=1-q, q=1-p), дисперсія обчислюється як добуток часток = .

При статистичному аналізі варіацій різних ознак або порівнянні варіації однієї і тієї ж ознаки в різних сукупностях використовують відносні характеристики варіації.

Коефіцієнти варіації визначають відношенням абсолютних характеристик варіації (R, , ) до центру розподілу ( ) і найчастіше виражаються у відсотках:

- осциляції ;

- лінійний ;

- квадратичний .

Чим більшою є величина коефіцієнта варіації, тим більшим є розшарування значень ознаки навколо середньої величини, тим більша неоднорідність сукупності.

Квадратичний коефіцієнт варіації використовують як критерій однорідності сукупності. Вважається, що при значенні сукупність є однорідною, а є типовою і надійною характеристикою даної сукупності.

Аналіз закономірностей розподілу передбачає оцінку рівня однорідності сукупності та симетричності розподілу.

Найпростішою мірою асиметричності розподілу є відхилення між характеристиками центру розподілу. Оскільки у симетричному розподілі , то чим помітніша асиметрія, тим більше відхилення ( ). Стандартне відхилення називають коефіцієнтом асиметрії:

As = .

У випадку правосторонньої асиметрії коефіцієнт As>0, лівосторонньої – As<0.