Розв`язок типових задач

Задача 1. Визначимо середній, модальний і медіанний вік студентів за даними вищенаведеної таблиці про розподіл студентів-заочників однієї групи (табл.5.1).

Розв`язок задачі.

Для розрахунку зазначених характеристик центру розподілу побудуємо табл.5.4.

Таблиця 5.4

Розподіл студентів за віком

Групи студентів за віком, років (x)	Кількість студентів, осіб (fj)	Кумулятивні частоти, осіб ( )	Середини інтервалів вікових груп, років (xj)
До 20	8	8	17,5	140
20-25	10	18	22,5	225
25-30	4	22	27,5	110
30 і старші	2	24	32,5	65
Разом	24	Х	Х	540

Перший інтервал (відкритий) умовно прирівнюємо по ширині до другого (закритого), а останній (відкритий) - до передостаннього (закритого). Так, якщо ширина другого інтервалу 5 років (20-25), то будемо вважати, що ширина першого інтервалу буде також 5 років (15-20), відповідно його середина – 17,5.

Середнє значення віку визначимо за формулою середньої арифметичної зваженої:

=22,5 (роки).

Серед студентів найбільш вагомою віковою групою є 20-25 років, представників цієї групи 10 осіб. Отже, модальний інтервал визначено. За формулою розрахуємо значення моди в межах цього інтервалу:

Mo= .

Нижня межа визначеного модального інтервалу x₀=20, його ширина h=5, частота модального інтервалу f_Mo=10, частота передмодального інтервалу f_Mo-1=8, частота післямодального інтервалу f_Mo+1=4.

Таким чином, мода дорівнюватиме:

Mo= = = 21,3 (роки).

Отже, в групі найчастіше зустрічаються студенти саме з таким віком.

Для визначення медіани спочатку з`ясуємо, якою є половина обсягу сукупності. В нашому випадку =12. Таким чином, перша кумулятивна частота, що перевищує половину обсягу сукупності, становить =18. Ця накопичена частота знаходиться в другому інтервалі – 20-25 років. В межах визначеного медіанного інтервалу визначимо значення медіани:

Me= .

Нижня межа медіанного інтервалу x₀=20, його ширина h=5. Частота медіанного інтервалу = 10, кумулятивна частота передмедіанного інтервалу =8. Таким чином,

Me= =22 (роки).

Отже, половина студентів групи мають вік до 22 років, а інша половина – більше 22 років.

Так як ( ), то маємо правосторонню асиметрію розподілу. Перевіримо рівність .

, отже, даний ряд розподілу є помірно асиметричним.

Задача 2. Використовуючи дані попередньої задачі, зробимо висновки щодо однорідності досліджуваної сукупності і асиметричності розподілу.

Розв`язок задачі.

Для цього побудуємо табл.5.5.

Таблиця 5.5

Розрахунок показників варіації віку студентів

Вікові групи студентів, років	Кількість студентів, осіб (fj)	Середини інтервалів вікових груп, років (xj)
До 20	8	17,5	200
20-25	10	22,5	0
25-30	4	27,5	100
30 і старші	2	32,5	200
Разом	24	Х	500

Використовуючи визначене в попередній задачі значення р., останню графу таблиці 5.4 будемо заповнювати таким чином. В першому інтервалі (до 20 років):

= 200 і т.д.

Для висновку щодо однорідності досліджуваної сукупності визначимо квадратичний коефіцієнт варіації: .

Середнє квадратичне відхилення для згрупованих даних розрахуємо за відповідною формулою: .

Отже, використовуючи дані табл.5.4:

= 4,6 (р.)

Отже, значення віку студентів групи відрізняються від середнього значення ( =22,5 р.) в середньому на 4,6 р.

Квадратичний коефіцієнт варіації становитиме: =20,4%, що свідчить про однорідність досліджуваної сукупності.

Визначимо коефіцієнт асиметрії:

As = = =0,26.

Оскільки As>0, то можемо зробити висновок про правосторонню асиметрію.

Задача 3. За наведеними в табл.5.6 даними визначте коефіцієнти локалізації і концентрації, оцініть нерівномірність розподілу оптового товарообороту суб`єктів оптової торгівлі.

Таблиця 5.6

Групування підприємств Житомирської області за обсягом оптового товарообороту

Класифікаційні групи підприємств за обсягом обороту, тис.грн	% до підсумку
	Кількість підприємств	Обсяг оптового обороту
До 500	49,9	0,9
500,1-10000,0	41,7	17,3
10000,1-50000,0	6,7	19,2
50000,1 і більше	1,7	62,6
Разом	100,0	100,0

Розв`язок задачі.

Оцінка нерівномірності розподілу значень ознаки між окремими складовими сукупностей ґрунтується на порівнянні часток двох розподілів – за кількістю елементів сукупності d_j та за обсягом значень ознаки D_j. В нашому випадку d_j – це частка j-ї класифікаційної групи підприємств у загальній їх кількості, D_j – частка оптового обороту j-ї групи підприємств у загальному обсязі обороту. Для обчислення коефіцієнтів локалізації (L_j) і концентрації (K) побудуємо табл.5.7.

Таблиця 5.7

Розрахунок коефіцієнтів нерівномірності розподілу оптового товарообороту суб`єктів оптової торгівлі

Класифікаційні групи підприємств за обсягом обороту, тис.грн	% до підсумку		Lj=
	Кількість підприємств (dj)	Обсяг оптового обороту (Dj)
До 500	49,9	0,9	0,018	0,490
500,1-10000,0	41,7	17,3	0,415	0,244
10000,1-50000,0	6,7	19,2	2,866	0,125
50000,1 і більше	1,7	62,6	36,823	0,609
Разом	100,0	100,0	Х	1,468

Отже, можемо зробити висновок, що значні обсяги оптового товарообороту сконцентровані на підприємствах останньої класифікаційної групи (понад 50 млн.грн), про що свідчить найбільший коефіцієнт локалізації L_j =36,8.

Розрахуємо значення коефіцієнту концентрації:

K = =0,734.

Оскільки значення K можуть коливатися в межах від 0 до 1, то K=0,734 свідчить про достатньо високий ступінь концентрації обсягу оптового товарообороту за підприємствами, що займаються оптовою торгівлею.

Задача 4. Відомі такі дані про структуру відправлення (перевезення) пасажирів за видами транспорту в Чернігівській області (табл.5.8):

Таблиця 5.8

Структура перевезення пасажирів за видами транспорту

Види транспорту	У % до підсумку
	Базисний рік (dj0)	Поточний рік (dj1)
Залізничний	7,9	8,6
Автомобільний	53,1	61,4
Тролейбусний	39,0	30,0
Разом	100,0	100,0

Проаналізуйте інтенсивність структурних зрушень за допомогою квадратичного коефіцієнта структурних зрушень.

Розв`язок задачі.

Проведемо необхідні розрахунки зміни часток, які занесемо в табл.5.9.

Таблиця 5.9

Структура і структурні зрушення перевезення пасажирів за видами транспорту

Види транспорту	Базисний рік (dj0)	Поточний рік (dj1)	Δdj=dj1-dj0, процентних пунктів	=(dj1-dj0)2
Залізничний	7,9	8,6	+0,7	0,49
Автомобільний	53,1	61,4	+8,3	68,89
Тролейбусний	39,0	30,0	-9,0	81,00
Разом	100,0	100,0	0,0	150,38

Отже, найбільші зміни відбулися за цей період часу у частці перевезень тролейбусним транспортом (вона зменшилася на 9 п.п.).

Визначимо квадратичний коефіцієнт структурних зрушень:

; m=3, оскільки маємо структуру за трьома видами транспорту.

Отже, = 7,1.

Таким чином, структура перевезення пасажирів за видами транспорту (частки окремих видів транспорту) в Чернігівській області змінилася за цей період часу в середньому на 7,1 п.п.

Задача 5. Вартість однокімнатних квартир-новобудов, що пропонувалися в одному з районів міста, різної загальної площі характеризується такими даними:

Групи квартир за розміром загальної площі, м2	Кількість квартир ( )	Вартість квартир, тис.$ (y)		∑y
42-48	6	79,5; 79,9; 85,5; 94,0; 117,0; 140,0		595,9	99,3 =
48-54	4	98,0; 135,0; 140,0; 159,0		532,0	133,0 =
54-60	3	150,0; 154,0; 178,5		482,5	160,8 =
В цілому	13	Х		1610,4	123,9 =

Визначте внутрішньогрупові, міжгрупову та загальну дисперсії вартості однокімнатних квартир-новобудов, а також питому вагу міжгрупової дисперсії у загальній. Зробіть відповідні висновки.

Розв`язок задачі.

Варіація вартості квартир для кожної їх групи визначається трьома внутрішньогруповими дисперсіями (маємо три групи квартир). Для першої групи квартир внутрішньогрупова дисперсія становитиме:

492,785.

Для другої групи квартир:

488,5,

для третьої –

158,7.

Середня з групових (внутрішньогрупових) дисперсій становитиме:

414,37.

Визначимо міжгрупову дисперсію:

619,0.

Загальну дисперсію можемо визначити за правилом складання дисперсій як суму міжгрупової дисперсії і середньої з внутрішньогрупових дисперсій:

1033,37.

Також можемо обчислити загальну дисперсію за формулою . В такому випадку:

- =1033,37.

Питому вага міжгрупової дисперсії у загальній становить:

= =0,599 або 59,9%.

Отже, варіація вартості однокімнатних квартир-новобудов майже на 60% пояснюється (обумовлена) варіацією їх загальної площі і на 100-60=40% - варіацією інших факторів (які не були враховані в групуванні).