Определение устойчивости программным путем
В качестве примера на рис. 3 изображена структурная схема СУ поворотом гусеничной машины.
Рис. 3. Обобщенная структурная схема системы управления поворотом гусеничной машины
Целью синтеза является выбор параметров К и а, при которых СУ будет устойчива и установившаяся ошибка при линейном входном сигнале не будет превышать 24 % от величины этого сигнала. Для решения этой задачи воспользуемся критерием Рауса-Гурвица при общем выражении характеристического уравнения в виде:
Критерий Рауса-Гурвица дает два условия устойчивости при K < 126 и Ka>0. Это значит, что можно ограничить область поиска значениями 0<K<126 и a > 0. Вначале необходимо найти программным путем границу устойчивости в плоскости параметров K и a. Затем необходимо найти пары значений (K, a), принадлежащих области устойчивости, таких, которые удовлетворяли бы ограничению на установившуюся ошибку.
Эта процедура, показанная в листинге m-файла на рис. 4, включает в себя задание диапазона значений K и a, а также вычисление корней характеристического уравнения для конкретных значений этих параметров. Для каждого K находится первое значение a, при котором по крайней мере один корень характеристического уравнения попадает в правую полуплоскость. Этот процесс повторяется до тех пор, пока не будет пройден весь диапазон значений K и a. Найденные пары чисел (K, a) определяют границу между областями устойчивости и неустойчивости.
Рис. 4. Листинг m-файла и график зависимости a = f(K)
В приведенной зависимости a = f(K) область слева от графика является областью устойчивости. Если считать, что r(t) = At (при t >0), то установившуюся ошибку можно выразить в виде
где использован тот факт, что
При заданном ограничении ess< 0,24A получается: 10A/Ka < 0,24, или
Ka > 41,67.
Любые значения K и a, лежащие в области устойчивости на рис. 4 и удовлетворяющие последнему условию будут считаться приемлимыми. Например, значения K = 70 и a = 0,6 будут удовлетворять всем выдвинутым требованиям. При таких значениях передаточная функция замкнутой системы примет следующий вид:
На рис. 5 приведен листинг m-файла с учетом реакции системы на линейный входной сигнал, изменяющийся с единичной скоростью. На графике показано, что установившаяся ошибка менее 0,24, как и требовалось.
Рис. 5. Листинг m-файла и график зависимости при реакции СУ на линейный входной сигнал (при K=70 и a =0,6)
Задание 2. Выполните операции определения устойчивости СУ программным путем.
Применение пакета программ Control System Toolbox Вызов интерфейса и загрузка моделей
В части 3 было показано, что для вызова графического интерфейса GUI используются две функции - ltiview и rltool. Функция открывает средство просмотра временных и частотных характеристик модели - LTI-viewer (интерактивный обозреватель) и может использоваться, например, в виде ltiview (plottype, sys, extras); ltiview (plottype, sys1,…,sysN, extras) и т.д. (см. справочную систему). Чтобы вызвать графический интерфейс наберите в командном окне функцию >> ltiview, когда появляется окно интерактивного обозревателя - LTI-viewer, а также малое окно с его характеристикой.
Набор LTI-моделей для демонстрационных целей размещен в файле LTI-examples.mat и для загрузки этого файла выполните команды: >>load LTI-examples. После этого в рабочей области MatLab (Workspace) устанавливается перечень 16-ти классов LTI-моделей с их именами и значениями. При двойном щелчке на первом имени (G) класса tf-модели (в самой верхней строке в окне редактора) появляется 2-ой лист “Array Editor” с математическим выражением этой модели.
Если данные команды не выполняются, делаем следующее
Выполните в окне команды >File>Импорт до появления нового окна Import System Data.
В окне Systems in workspace выбираем все 4 строки и нажимае ОК.
Для создания файла LTI-examples, который в дальнейшем будем подгружать, выбираем file->export
Выделяем все 4 сроки и нажимаем export to disk, далее задаем имя файла LTI-examples и сохраняем:
Далее пробуем подгрузить файл. Выполняем команду >> ltiview , и подгружаем наш пример >>load LTI-examples.
При активизации в окне обозревателя команд >Edit>Конфигурация участка… появляется диалоговое окно задания видов характеристик (рис.6).
Рис. 6. Окно задания видов характеристик
После этого необходимо выбрать количество будущих графиков в одном диалоговом окне (например, в четвертой позиции) и после выполнения команды >ОК получается следующее изображение (рис. 7).
Для выполнения работы с редактором свойств необходимо установить курсор на один из полученных графиков и выполнить двойной щелчок левой клавишей мыши до появления окна Priperty Editor, содержащее 5 вкладок:
Labels – установка надписей на графике;
Limits – установка размеров графика;
Units – установка размерных величин;
Style – установка стиля графика (установка сетки, цвета шрифтов);
Characteristics – контекстно-зависимые установки характеристик.
Рис. 7. Окна графиков частотных и переходных характеристик
Установки графического интерфейса осуществляются с выбором опций меню >File>Свойства комплекта инструментов, что приводит к появлению окна «инструментального ящика» (рис. 8).
Рис. 8. Вид окна Control System Toolbox Preferences
Первые три вкладки аналогичны описанным для редактора свойств, а последняя SISO Tool используется для установки параметров SISO-модели.
Для установки цвета и стилей линий графиков используется окно, вызванное командами >Edit>Стили линий(рис. 9).
Рис. 9. Вид окна задания стилей линий
Выполните операции >Edit>Параметры просмотрщика(рис. 10).
Рис. 10. Вид окна свойств LTI-вьювера
Задание 3. Выполните операции загрузки моделей с последующим определением характеристик получаемых графиков.