Оценка чувствительности системы управления Определение чувствительности программным путем

В процессе проектирования автоматической системы изменения ее составных параметров может привести к изменениям статических и динамических свойств. Поэтому степень влияния изменения отдельных параметров на различные характеристики системы принято оценивать посредством чувствительности. Чувствительность – это некоторый показатель, характеризующий свойство системы изменять режим работы при отклонении того или иного параметра от номинального или исходного значения. Для оценки чувствительности используются функции чувствительности, представляющие собой частные производные i-й координаты системы по вариации j-го параметра.

Рассмотрим отношение изменения передаточной функции W системы к изменению некоторого параметра b и будем считать данное отношение мерой чувствительности S в соотношениях:

В этом выражении W(p) есть изменение передаточной функции W(p) из-за изменения параметра b на величину b. По определению, функция чувствительности вычисляется как предел выражения (2) при b0. В общем случае функцию чувствительности некоторой характеристики W по отношению к параметру b можно записать в следующем виде:

В общем виде функция чувствительности зависит от переменной преобразования Лапласа, что создает трудности при ее интерпретации. Но если в исходном выражении оператор р заменить на j, то эту функцию можно представить в виде частотной характеристики. В этом случае она приобретает определенный смысл как чувствительность на частотах в полосе пропускания системы. Рассмотрим формулы для функции чувствительности на примере передаточной функции:

где W_p(p), W_o(p) и W_д(p) – передаточные функции регулятора, объекта и датчика в цепи обратной связи, соответственно.

Вначале найдем чувствительность к передаточной функции объекта W_o(p) в соответствии выражению (3):

В полученном выражении, подставляя значение переменной j, находим:

При этом член , вычисленный при определенной частоте, называется коэффициентом усиления контура на заданной частоте. Он представляет собой передаточную функцию всех звеньев образующих замкнутый контур (без учета инверсии знака за счет сумматора). Поэтому на всех частотах в полосе пропускания системы желательно иметь коэффициент усиления контура как можно больше, чтобы снизить чувствительность характеристик системы к изменению параметров объекта. Одной из функций регулятора W_р(p) и является увеличение коэффициента при сохранении устойчивости замкнутой системы.

После этого определим чувствительность системы к изменению параметров датчика W_д(p) в цепи обратной связи:

В выражении (5.16) установлено соотношение, когда увеличение параметра W_д приводит к увеличению W. Для того, чтобы чувствительность системы по отношению к датчику была малой необходимо, чтобы и коэффициент усиления контура также был малым. Но уменьшение коэффициента усиления делает систему более чувствительной к изменению параметров объекта. Отсюда следует, что нельзя одновременно сделать систему нечувствительной и к параметрам объекта, и к параметрам датчика. Это противоречие разрешается с выбором высококачественного датчика со стабильными характеристиками. Но этого нельзя сказать по отношению к объекту, т.к. они в силу своей физической природы имеют параметры, изменяющиеся в процессе эксплуатации.

Проведенный анализ был выполнен на основе чувствительности к изменению W_o и W_д. Но сами эти передаточные функции изменяются потому, что изменяется какой-либо их параметр b. Например, чувствительность W(p) к параметру b передаточной функции W_o(р) можно определить следующим образом:

Рассмотрим особенности применения функций чувствительности на основе примера.

Пример. Найти функции чувствительности для системы регулирования температуры, состоящей из регулятора, объекта, в обратной связи которых подключен датчик. Предполагается, что регулятор является пропорциональным, т.е. W_р(р) = К_o, а передаточная функция объекта выражается в виде W_o(р) = К/(р + 0,1). В этом случае К имеет номинальное значение 5,0. Будем считать, что датчик смоделирован в виде идеального коэффициента усиления W_д с номинальным значением 0,05. Найдем чувствительность W(р) к изменению К, числителя W_o(р). Вначале находим

и на основании (5) находим:

Такую же чувствительность можно представить как функцию частоты в виде

Аналогично этому, на основании (4) получаем

Исходя из этого представлены результаты расчетов на основе выполняемой программы:

Kp=[1 10];w=logspace(-1 1);

for k=1:2

Gnum=[1 0.1];Gden=[1 0.1 +0.25Kp(k)];

Gjomega=freqs(Gnum,Gden,w);Gmag=abs(gjomega);

plot(w,Gmag)

title('Sensitivity Functions')

xlabel('Omega'),ylabel('Sensitivity')

grid

hold on

end

hold off 156сСУ

На рис. 35 изображены функции чувствительности в зависимости от частоты для двух произвольно выбранных значений коэффициента усиления регулятора К_р = 1 и К_р = 10.

Рис. 35. Графики функций чувствительности системы

При этом чувствительность передаточной функции системы к коэффициенту К меньше на низких частотах. Полосу пропускания системы можно найти также из анализа передаточной функции:

Получается, что усиление системы уменьшается до значения 0,707 W(j) при частоте  = (0,1+0,25 К_р). Поэтому полоса пропускания системы _в = (0,1+0,25 К_р). При К_р = 1 _в = 0,35, а при К_р = 10 _в = 0,35.

Исходя из приведенной графической интерпретации следуют два вывода:

1) чувствительность системы по отношению к К уменьшается с увеличением коэффициента усиления разомкнутой системы, тогда как чувствительность по отношению к Н, наоборот, возрастает;

2) система очень чувствительна к К за пределами полосы пропускания, но это не имеет никакого значения; она также очень чувствительна к Н внутри полосы пропускания, что имеет существенное значение; для реализации системы датчик должен выполняться из высококачественных компонентов.

Задание 20. Выполните операции расчетов чувствительности программным путем.