§ 3. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными
1. Уравнения вида
(1),
где М(х) и N(у) заданные функции, называется дифференциальным уравнением с разделенными переменными.
M(x)dx=–N(y)dy.
Левую часть уравнения можно рассматривать как дифференциал некоторой функции переменной х, а правую – как дифференциал некоторой функции переменной у.
Равенство дифференциалов означает, что неопределенные интегралы от них будут отличаться постоянным слагаемым.
Значит
– общий интеграл д.у. с разделенными
переменными.
2. Уравнения вида
(2),
где М1(х), М2(х), N1(у) и N2(у) заданные функции, называется уравнением с разделяющимися переменными.
Разделим обе части (2) на
:
,
,
или
Пришли к уравнению с разделенными переменными
(*) – общий интеграл.
При делении на
можно потерять некоторые решения. Пусть
у=у0 – корень уравнения
,
то есть
и dy0=0.
При подстановке в (2) получаем тождество,
значит у=у0 при любом х
– решение д.у. (2). Если это решение нельзя
получить из (*) при некотором с, то
его нужно рассматривать отдельно.
Замечание.
– д.у. с разделяющимися переменными.
Пример 3.1. Найти общее решение
(общий интеграл) д.у.
.
Решение.
Это д.у. первого порядка с разделяющимися
переменными.
– общий интеграл (у является неявной
функцией от х).
Заменим с на
:
;
;
Делили на
:
при любом
у=–1 – является частным решением.
Пример 3.2. Найти общий интеграл
д.у.
.
Найти частный интеграл (частное решение),
удовлетворяющий начальному условию
.
Ответ:
– общий интеграл,
– частное решение.
§ 4. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
Опр. Функция f(x,y)
называется однородной функцией
n-го
порядка (n-ой
степени, n-го измерения)
относительно переменных х и у,
если при любом
справедливо тождество
Примеры:
1)
– однородная функция третьего порядка,
так как
f(х,у);
2)
–
однородная функция первого порядка;
3)
–
однородная функция нулевого порядка.
Опр1. Уравнение первого порядка (1) называется однородным относительно х и у, если функция f(x,y) есть однородная функция нулевого порядка относительно х и у.
С помощью подстановки
или
,
д.у. (1) сводится к д.у. с разделяющимися
переменными.
Пример 4.1.
Решение.
–
однородное д.у. первого порядка, так как
–
однородная функция нулевого порядка.
,
,
,
,
:
,
,
,
,
,
,
,
– общий интеграл дифференциального
уравнения.
Опр2. Уравнение первого порядка
(2)
называется однородным, если М(х,у) и N(х,у) – однородные функции одного и того же порядка.
Д.у. (2) можно свести к д.у. (1) и решить
рассмотренным выше способом. Однако
лучше в д.у. (2) применить подстановку
,
.
Пример 4.2.
Решение
и
– однородные функции одного порядка
(второго). Значит, данное д.у. – однородное
первого порядка.
,
,
– общий интеграл.
Пример 4.3.
у=0 при х=1
Ответ:
– частный интеграл (
– частное решение)