§ 10. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Опр. Уравнение вида
(1),
где p, q – действительные числа, называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.
По теореме 3 § 9 общее решение имеет вид
,
где у1 и у2 – линейно
независимые частные решения. Будем
искать частные решения в виде
,
где k=const.
,
.
Подставим в (1):
,
,
значит
(2).
Если k будет удовлетворять
уравнению (2), то
будет решением (1).
Уравнения (2) называется характеристическим уравнением для уравнения (1).
Характеристическое уравнение является квадратным и имеет два корня k1 и k2: различных действительных; одинаковых действительных; комплексно-сопряженных.
1) Корни характеристического уравнения
действительны и различны
,
где k1 и k2
– действительные числа.
Тогда частными решениями будут
и
.
Эти решения линейно независимы, так как
По теореме 3:
– общее решение д.у. (1) в случае, когда
,
k1 и k2
– действительные числа.
2) Корни характеристического уравнения
действительны и равны
,
где k1 и k2
– действительные числа.
,
в качестве
(Если взять
,
то у1 и у2 – линейно
зависимы).
а) Покажем, что у2 – решение (1).
Подставим в (1)
,
так как по т. Виета, k1+k2=–p,
k1+k1=–p,
2k1+p=0
,
так как k1 –
корень характеристического уравнения.
0=0
– решение (1)
б) Покажем, что у1 и у2 – линейно независимы
у1 и у2 – линейно
независимы
Тогда по теореме 3:
– общее решение д.у. (1) в случае, когда
,
k1 и k2
– действительные числа.
3) Корни характеристического уравнения
комплексные сопряженные
,
Частные решения
и
являются комплексными. Можно получить
действительные решения
и
,
причем они линейно независимы, так как
Тогда по теореме 3:
– общее решение д.у. (1) в случае, если
.
Пример 10.1. Найти общее решение
дифференциального уравнения
Решение.
– характеристическое уравнение
,
– общее решение д.у.
Пример 10.2. Найти общее решение
дифференциального уравнения
Решение.
– характеристическое уравнение
,
– общее решение д.у.
Пример 10.3. Найти общее решение
дифференциального уравнения
Решение.
– характеристическое уравнение
,
– общее решение д.у.
Пример 10.4.
Пример 10.5.
Пример 10.6.
§ 11. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Опр. Уравнение вида
(1),
где p, q – действительные числа, – заданная функция, называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.
Теорема (О структуре общего решения линейного неоднородного линейного д.у. второго порядка с постоянными коэффициентами).
Общее решение линейного неоднородного уравнения (1) есть сумма его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения, то есть
(2),
где у – общее решение линейного неоднородного уравнения (1),
– частное решение линейного неоднородного
уравнения (1),
– общее решение линейного однородного
уравнения, то есть уравнения
.
Без доказательства.
Итак, для отыскания общего решения у неоднородного уравнения (1) надо найти:
- общее решение соответствующего однородного (см. §10);
- какое-нибудь частное решение неоднородного уравнения.
Рассмотрим способы нахождения уравнений, правые части которых имеют специальный вид.
I. Правая часть уравнения
(1) есть показательная функция (экспонента)
,
где
– заданные числа.
1.
не является корнем характеристического
уравнения
,
.
Частное решение будем искать в виде
А – неопределенный коэффициент. Рассмотрим способ отыскания А и покажем, что А определяется однозначно.
,
,
подставим в (1):
,
где
,
так как
не является корнем характеристического
уравнения.
2.
– однократный корень характеристического
уравнения
,
(или наоборот).
Частное решение
будем искать в виде
Аналогично предыдущему пункту найти
,
,
подставить в (1) и найти А.
3.
– двукратный корень характеристического
уравнения
.
Тогда
Найти , , подставить в (1) и найти А.
Пример 11.1. Найти общее решение
Решение.
а) найдем
,
,
б) найдем
,
в)
– общее решение
Пример 11.2.
Найти
и вид
Решение.
,
,
Пример 11.3. Найти общее решение
Ответ:
II. Правая часть уравнения
(1) есть многочлен степени n
,
где
– заданный многочлен степени n.
1. Число 0 не является корнем
характеристического уравнения:
,
.
Тогда частное решение будем искать в
виде
,
где А0, А1, …, Аn
– неопределенные коэффициенты. Найдем
,
,
подставим в (1). В результате слева и
справа получим многочлены степени n.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых
степенях х, получим систему (n+1)
уравнений для определения неизвестных
коэффициентов А0, А1,…,
Аn.
2. Число 0 является однократным корнем
характеристического уравнения:
или
.
Тогда
3. Число 0 является двукратным корнем
характеристического уравнения
.
Тогда
Замечание. Выше сказанное
применимо в случае, если
,
то есть многочлен нулевой степени.
Пример 11.4. Найти общее решение
а)
,
,
б)
,
в)
– общее решение
Пример 11.5.
Найти
и вид
Решение.
,
,
Пример 11.6. Найти общее решение
Ответ:
III. Правая часть уравнения
(1) имеет вид
,
где
– заданное число,
– заданный многочлен степени n
(обобщение первых двух случаев).
1. не является корнем характеристического уравнения , .
,
где
,
А0, А1, …, Аn – неопределенные коэффициенты.
2. – однократный корень характеристического уравнения , (или наоборот).
3. – двукратный корень характеристического уравнения .
Пример 11.7. Найти общее решение
а)
,
,
б)
,
,
в)
– общее решение
IV. Правая часть уравнения
(1) тригонометрическая функция (гармоника)
,
где m, n,
b – заданные числа.
Число
не является корнем характеристического
уравнения,
.
Тогда
,
где А, B –
неопределенные коэффициенты.
Найти , , подставить в (1), приравнять коэффициенты в обеих частях равенства при cosbx и коэффициенты при sinbx. Из полученной системы найти А и В.
Число является корнем характеристического уравнения,
.
Тогда
,
где А, B –
неопределенные коэффициенты
Пример 11.8. Найти общее решение
,
,
,
– общее решение
Пример 11.9.
.
Найти у и вид
,
,
,
V. Правая часть уравнения
(1) имеет вид
,
где а, b – заданные
числа, P(x),
Q(x)
– заданные многочлены.
Число
не является корнем характеристического
уравнения,
.
,
где Rn(x),
Sn(x)
–многочлены с неопределенными
коэффициентами степени n,
n – максимальная
степень многочленов P(x),
Q(x).
Число является корнем характеристического уравнения,
.
