Глава 6. Кольцо полиномов к Параграф 1 Общее сведения.
Полиномом n-ой степени с коэффициентами из числового множества R одной неизвестной называется выражение вида
Где
старший коэффициент, а
младший, свободный коэффициент
X – переменная, объект не принадлежащий числовому множеству R.
N=degF – (Степень многочлена F) (Целое положительное число)
В силу своего конструктивного построения полиномом является символьной записью, поэтому для такой формы задания вводится понятие равенство многочлена.
Два многочлена называются равными, если коэффициенты при соответствующих степенях являются равными.
Впоследствии выяснилось, что многочлен можно воспринимать как функцию от одного или нескольких неизвестных. В силу этого, равенство многочленов можно рассматривать как равенство функций, то есть при одинаковых значения аргумента они принимают равные значения функции.
Множество полиномов образует кольцо, но не поле. В поле для любого ненулевого элемента можно найти ему обратный. Во множестве полиномов это невозможно.
Многочлены полиномы нулевой степени можно отождествлять с числами из некоторого числового множества , над которыми строится многочлен (полином)
Некоторыми особыми характеристиками обладает нулевой полином. То есть степень данного полинома считается неопределенной (равна бесконечности)
В силу своих свойств нулевых многочленов бесконечное множество и принято считать что они эквивалентны друг другу.
Операции над полиномами (основные):
Сложении полиномов
Суммой
двух полиномов f и g
называется полином (f+g)
, коэффициенты которого определяются
по правилу
Умножение полиномов:
Произведением
двух полиномов f и g
называется полином (f*g)
коэффициенты которого определяются по
правилу:
И понятно,
что
Произведение двух ненулевых многочленов никогда не является нулевым многочленом.
В кольце полиномов операция деления не определена, но множество полиномов обладает свойствами числовых множеств. В следствии этого можно ввести аналог деления, который называется «Алгоритм Евклида»
Теорема ( о делении с остатком):
Пусть даны f и g. degF=n и degG=m, причем полиномы не нулевые и n больше m.
Тогда существуют такие многочлены q И r, являющиеся единственными, и для которых выполнимо равенство
q- это частное от деления, а r - остаток.
Доказательство:
Покажем единственность q и r
Рассмотрим равенство
(*). Степень разности r1-r2
меньше степени многочлена g.
(согласно условию теоремы) А степень
произведения g на (q1-q2)
являются большей или равной степени
многочлена q. При
предположении, что q1
q2.
Что невозможно.
В силу этого заключаем, что степень q1-q2 должна быть равна степени нулевого, то есть q1=q2 и r1=r2 (второе слагаемое должно быть нулевым многочленом)
Конструктивное построение деления полиномов.
Домножая многочлен меньшей степени на соответствующее выражение таким образом, что бы после вычитания из многочлена старшей степени коэффициенты при старших степенях становились равными нулю.
До тех пор, пока степень многочлена, получающегося после вычитания, не окажется строго меньше степени g.
В итоге получим, что степень оставшегося многочлена удовлетворяет условиям теоремы и является степенью остатка (degn).