Параграф 3. Корни многочленов.
Пусть дано
Зафиксируем произвольны мобразом некоторое значение переменой х , х=с (с- константа). Подставить это значение в (1), получим число которое называется значением полинома f в точке x=c.
Значения полинома в некоторой точке обладают следующими свойствами:
Число «c» называется корнем полинома f, если значение f(с ) равно нулю.
Число С называется корнем кратности K, если многочлен f можно представить в виде:
Если к=1, то корень называется простым.
Задача отыскания корней многочлена связана с задачей разложения многочлена f на линейные множители kx+b/
Теорема Безу:
Остаток от деления полинома f ненулевой степени на моном (x-c) равен f(c ).
Следствие из теоремы Безу:
Если остаток от деления полинома f на моном (x-c) равен нулю, то c является корнем полинома f
Схема Горнера:
Схема Горнера позволяет находить коэффициенты многочлена, получающегося в результате деления многочлена F на моном (x-c)
Установим взаимосвязь между коэффициентами:
Теорема о связи кратности корней многочлена и его производных:
Если число С является корнем полинома f кратности к(к>1), то этот же корень будет корнем кратности к-1 его производной.
В случае, если корень является простым, то он не будет корнем первой производной многочлена.
Если число С – корень кратности к(к>1) , то оно будет корнем кратности k-s производной (k>=s). И впервые не будет служить корнем только для k-той производной полинома f.
Одной из возможных задач классической алгебры является задача определения коней над некоторым числовым полем.
Основная теорема Алгебры (Классическая трактовка):
Всякий полином неотрицательной степени имеет хотя бы один в общем случае комплексный корень.
Современная трактовка:
Всякий ненулевой полином имеет в точности n корней (degf=n) над числовым полем.
Следствие:
Если z принадлежит полю комплексных чисел и является корнем полинома f, то комплексно сопряженное число так же является корнем этого полинома. Другими словами, всякий полином имеет попарно комплексно сопряженные корни.
Теорема (О разложении полинома над полем С):
Если многочлен
Представим в виде разложения на линейные многочлены первой степени:
Следствие:
Всякий комплексный полином f над полем C является простым.
Параграф 4. Границы корней
Лемма(о модуле старшего члена):
Для любого полинома f с коэффициентами из поля C, причем degF>0, при стремлении переменной x к бесконечности найдется такое k(>0) , что имеет место:
Рассмотрим серию верхних оценок положительных корней:
Максимум при корне означает выбор максимального значения среди коэффициентов за исключением а(n) и a(n-1)
Где s – подходящая степень корня для требуемой точности оценки. А(к) – произвольный коэффициент, исключая а(n)
Данные оценки можно использовать для нахождения верхней границы корней полинома.
Для нахождении интервала (и для отрицательных корней) можно пользоваться вышеуказанной оценкой и системой оценок полученных из следующих вычислений:
– для него можно найти верхнюю границу
корней
и для него найдем верхнию границу корней
верхняя граница корней которого равна
Предложение о границах корней полинома:
Положительные корни многочлена f будут оцениваться интервалом (1), а отрицательные интервалом (2)
N(0) верхняя граница корней полинома f.
Примечание:
Для оценки границ корней многочлена можно использовать одновременно несколько разных оценок.