1.4. Парабола

Параболой называется множество точек плоскости, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой прямой ,называемой директрисой.

Расстояние от фокуса до директрисы называется параметром параболы и обозначается p.

Пусть точка О расположена посередине между фокусом и директрисой, и ось Ox направлена от О к F. Если d=MK – расстояние от M до директрисы и r =MF , то (рис. 1.7):

О тсюда - каноническое уравнение параболы

Уравнение директрисы :

Фокальный радиус точки M:

Эксцентриситет параболы считают равным

единице: (отметим, что тогда ).

Рис. 1.7

Уравнение касательной к параболе в точке

.

Поместим начало полярной системы координат в фокус F параболы . Так как расстояние от F до директрисы равно p , то полярные координаты ( ) произвольной точки

М параболы удовлетворяют равенству , т.е.

. (1.6)

Пусть Г – произвольное коническое сечение , F - один из фокусов кривой Г, и пусть S - точка на Г такая, что отрезок FS параллелен директрисе кривой Г. Длину отрезка FS называют фокальным параметром кривой Г и обозначают p. Если - эксцентриситет кривой Г и d - расстояние от фокуса F до соответствующей директрисы, то . Аналогично (1.6) в полярной системе координат уравнение

при задает эллипс, а при одну из ветвей гиперболы.

2. Общее уравнение и инварианты кривых второго порядка

Пусть кривая Г задана в декартовой системе координат уравнением:

(2.1)

Если хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля, то кривую Г называют кривой второго порядка.

Теорема 1. Для произвольной кривой второго порядка Г существует такая декартова прямоугольная система координат , что в этой системе кривая Г имеет уравнение одного из следующих канонических видов:

1) - эллипс,

2) - мнимый эллипс,

3) - две мнимые пересекающиеся прямые (точка),

4) - гипербола

5) - две пересекающиеся прямые,

6) - парабола,

7) - две параллельные прямые,

8) - две мнимые прямые,

9) - две совпадающие прямые.

В этих уравнениях - положительные параметры.

Функция называется квадратичной формой, соответствующей уравнению (2.1). Характеристическим уравнением квадратичной формы называется уравнение

(2.2)

а корни уравнения (2.2) называются характеристическими числами квадратичной формы .

Характеристическое уравнение (2.2) записывается в виде

(2.3)

и имеет дискриминант

(2.4)

Всегда и характеристические числа квадратичной формы находятся по формуле

(2.5)

В общем случае характеристическое уравнение (2.3) записывается в виде

(2.6)

где

(2.7)

(2.8)

Обозначим

(2.9)

. (2.10)

Значения не меняются при переходе от одной декартовой прямоугольной системы координат к другой, полученной в результате поворота осей координат и переноса начала координат, то есть являются инвариантами кривой Г относительно поворота осей координат и переноса начала.

Значение K является инвариантом кривой Г только относительно поворота осей координат.

Теорема 2. Для любой кривой второго порядка Г существует угол и числа такие, что с помощью преобразования поворота осей и переноса начала координат

(2.11)

уравнение (2.1) приводится к одному из следующих трех видов :

если ; (2.12)

, если (2.13)

если (2.14)

Здесь - определены формулами (2.7)-(2.10) соответственно, а - корни характеристического уравнения (2.6).

Для эллипса - меньший по абсолютной величине корень характеристического уравнения.

Для гиперболы - корень характеристического уравнения, знак которого совпадает со знаком .