7.5. Эллиптический параболоид
Эллиптический
параболоид (рис. 3.8), каноническое
уравнение
.
Сечения, параллельные оси z,
- параболы; сечения параллельные плоскости
Oxy
– эллипсы.
Если a=b,
то имеем параболоид, получаемый при
вращении параболы
,
лежащей в плоскости Oxz
вокруг её оси.
О
бъём
части параболоида, отсекаемой плоскостью,
перпендикулярной его оси, на высоте h,
равен
,
т.е. равен половине объёма эллиптического
цилиндра с таким же основанием и высотой.
Рис. 3.8.
7.6.. Гиперболический параболоид
Гиперболический
параболоид (рис. 3.9) имеет каноническое
уравнение:
Сечения, параллельные плоскости Oyz – конгруэнтные (одинаковые) параболы; сечения, параллельные плоскости Oxz – также конгруэнтные параболы; сечения, параллельные плоскости Oxy – гиперболы (а также пары пересекающихся прямых).
Гиперболический параболоид (рис. 3.10), имеет два семейства образующих:
I
.
II
.
Рис. 3.9. Рис. 3.10.
Здесь u и - также произвольные величины. Через каждую точку поверхности проходят две прямые: по одной образующей из каждого семейства (на рис. 3.10 показано лишь одно семейство прямых).
7 .7. Цилиндры. Параболический цилиндр
Форма цилиндров определяется их направляющими. Будем считать, что направляющие цилиндров расположены в плоскости Oxy, образующие – параллельны оси Oz.
Тогда, исходя из формы образующей, цилиндры могут быть: эллиптические, гиперболические, параболические.
В качестве примера
одного из трех видов цилиндров 2-го
порядка приведем параболический цилиндр,
который имеет каноническую формулу:
.
Рис. 3.11.
8. Метод сечений на примере исследования формы эллипсоида
Чаще всего метод сечений (метод параллельных плоскостей) используют при определении формы поверхности 2-ого порядка, если поверхность задана общим уравнением (2.1) и еще не приведена к каноническому виду. Однако сам метод не зависит от уравнения, которым задана поверхность. Проиллюстрируем использование метода на примере анализа эллипсоида.
Чтобы более наглядно представить себе форму эллипсоида, заданного уравнением (3.2), выясним форму линий пересечения его плоскостями, параллельными какой-либо из координатных плоскостей. Ради определенности рассмотрим линии Lh пересечения эллипсоида с плоскостями
z = h, (3.4)
параллельными плоскости Оxу. Уравнение проекции L*h линии Lh на плоскость Оxу получается из уравнения (3.2), если положить в нем z = h. Таким образом, уравнение этой проекции имеет вид
(3.5)
Е
сли
положить
то уравнение (3.5) можно записать в виде
(3.6)
Таким образом, выясняется, что L*h представляет собой эллипс с полуосями а* и b*, которые могут быть вычислены по формулам (3.6). Так как Lh получается «подъемом» L*h на высоту h по оси Оz (см. (3.4)), то и Lh представляет собой эллипс.
Представление об эллипсоиде можно получить следующим образом.
Рассмотрим на плоскости Оxу семейство эллипсов (3.6) (рис. 3.12), полуоси а* и b* которых зависят от h, и каждый такой эллипс снабдим отметкой h, указывающей, на какую высоту по оси Оz должен быть «поднят» этот эллипс.
Рис. 3.12.
Метод сечений позволил получить своего рода «карту» эллипсоида при виде на него «сверху».
Используя такие «карты» во всех трех координатных плоскостях, легко представить себе пространственный вид любой поверхности 2-ого порядка.