1.3. Расчет доверительного интервала для математического ожидания

Величина , найденная по выборке, представляет ценность постольку, поскольку по ней можно судить об истинном среднем математическом ожидании M_y. Представляет интерес отыскание величины максимальной ошибки ∆, которую мы допускаем, предполагая M_y равным . Требуется, следовательно, найти величину , при которой

. (1.11)

Неравенством (1.11) задается интервал, в котором находится значение математического ожидания M_y. Этот интервал называется доверительным интервалом для математического ожидания. Величина  зависит, очевидно, от объема выборки n. Чем больше n, тем меньше максимальная ошибка . Однако даже при заданном n нельзя абсолютно достоверно указать величину , так как расчет этой величины, как и любой статистический вывод, делают на основе результатов эксперимента, а они заведомо содержат ошибки.

Выводы, которые делают на основе неточных данных, принципиально не могут быть абсолютно достоверными, поэтому говорят о надежности статистического вывода, которую оценивают величиной доверительной вероятности p, где 0 < p < 1. Например, статистический вывод, сделанный с доверительной вероятностью p = =0,95, будет справедлив в 95 случаях из 100. Будем пользоваться чаще величиной q = 1 – р, называемой уровнем значимости. Уровень значимости задается заранее до проведения расчетов. Типичные значения для q: 0,01; 0,05 и 0,1 или в процентах: 1, 5, 10.

Вернемся к отысканию доверительного интервала для математического ожидания. Будем предполагать, что дисперсия измеряемой величины y заранее неизвестна, а ее оценка s² найдена по выборке с помощью формул (1.4) или (1.9). В этом случае величина  определяется по формуле [3], следовательно, доверительный интервал для математического ожидания равен

. (1.12)

Величина s – это оценка стандарта: . Кроме известных величин s и n, в формулу (1.12) входит величина t, для отыскания которой понадобятся статистические таблицы. Они есть практически в каждом руководстве по математической статистике или планированию эксперимента, в том числе и в данной книге.

Величина t называется табличным значением t-критерия Стьюдента. В соответствующей таблице (см. табл. 1.1) ее следует отыскать по предварительно заданному уровню значимости q и числу степеней свободы f = п – 1.

Оценку для математического ожидания в виде интервала часто называют интервальной оценкой в отличие от оценок по формулам (1.3) и (1.11), которые называют точечными оценками для математического ожидания.

Таблица 1.1

Значения t-критерия Стьюдента

(q – уровень значимости, f – число степеней свободы)

f	q		f	q		f	q
	0,05	0,01		0,05	0,01		0,05	0,01
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13	12,7 4,30 3,18 2,78 2,57 2,45 2,36 2,31 2,26 2,23 2,20 2,18 2,16	63,66 9,92 5,84 4,60 4,03 3,71 3,50 3,36 3,25 3,17 3,11 3,05 3,01	14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26	2,14 2,13 2,12 2,11 2,10 2,09 2,09 2,08 2,07 2,07 2,06 2,06 2,06	2,98 2,95 2,92 2,90 2,88 2,86 2,85 2,83 2,82 2,81 2,80 2,79 2,78	27 28 29 30 40 50 60 80 100 120 200 500	2,05 2,05 2,05 2,04 2,02 2,01 2,00 1,99 1,98 1,98 1,97 1,96 1,96	2,77 2,76 2,76 2,75 2,70 2,68 2,66 2,64 2,63 2,62 2,60 2,59 2,58

Пример. 10 образцов (по 60 семян ячменя) были подвергнуты СВЧ-облучению. В результате проросло следующее количество Н семян в образцах: 47, 35, 40, 43, 35, 41, 46, 44, 54, 39 шт. Требуется рассчитать точечную оценку и доверительный интервал для математического ожидания.

Вычислим среднее арифметическое H_ср и оценку дисперсии s² выборки: .

Н_ср ,

Отсюда (шт.).

Зададимся уровнем значимости q = 0,05. Это соответствует доверительной вероятности p = 1 – q = 0,95. Из табл. 1.1 по величинам q = 0,05 и f = n – 1 = 9 найдем значение t = 2,26. Подставляя найденные значения для H, s, n и t в формулу (1.12), получим доверительный интервал для математического ожидания

. (1.13)

Не следует думать, что во всех случаях целесообразно задаваться как можно большей надежностью статистического вывода. Покажем на материале предыдущего примера, к чему это может привести. Зададимся теперь уровнем значимости q = 0,01. Доверительная вероятность будет теперь равна p = 1 – 0,01 = 0,99. Новое значение t, найденное из табл. 1.1, составит 3,25, а доверительная оценка примет вид 36,8 = < M_y = < 48,6. Как и следовало ожидать, с большей надежностью можно гарантировать только более широкий доверительный интервал для математического ожидания при тех же опытных данных.