1.9. Проверка однородности средних

Здесь исследуются две выборки, имеющие различные средние арифметические. Данная проверка позволяет установить, вызвано ли расхождение между средними случайными ошибками измерения или оно связано с влиянием каких-либо неслучайных факторов. Эта процедура находит широкое применение, например, в случаях, если требуется установить идентичность параметров одинаковых измерений, выполненных разными приборами. Проверка проводится с применением t-критерия Стьюдента. Пусть n₁ и n₂ – объемы выборок, измеряемой величин y_i , у₁ и у₂ – соответствующие средние значения выборок, и – оценки дисперсий, найденные по этим выборкам.

Предстоит рассмотреть два случая.

1. Дисперсии и однородны. Вычисляется расчетное t-отношение по формуле

t_расч = (1.18)

Из таблиц распределения Стьюдента при уровне значимости q и числе степеней свободы f = n₁ + n₂ – 2 находят табличное значение t_табл (см. табл. 1.1). Если t_расч > t_табл, то расхождение между средними значимо. В противном случае можно принять гипотезу об однородности средних. Формула (1.18) упрощается, если обе выборки имеют одинаковый объем, т.е. n₁ = n₂ = n₃ =...= n. В этом случае

t_расч . (1.19)

2. Дисперсии и неоднородны. Как и в предыдущем случае, здесь можно использовать t-критерий Стьюдента, но формула для t_расч имеет уже следующий вид [8]:

t_расч= . (1.20)

Далее вычисляют величину f по формуле

. (1.21)

Найденное значение f округляют до целого и принимают за число степеней свободы. По этой величине и по уровню значимости q из таблиц распределения Стьюдента отыскивается t_табл. Дальнейший ход проверки не отличается от предыдущего случая.

1.10. Проверка нормальности распределения

При рассмотрении всех предыдущих статистических процедур предполагалось, что выходная величина подчиняется нормальному закону распределения. Это предположение можно проверить разными способами. Наиболее строгим из них является применение критерия ² Пирсона. Для этого необходимо иметь выборку достаточно большого объема: n ≥ 50 – 150. Диапазон изменения выходной величины в этой выборке разбивается на l интервалов так, чтобы эти интервалы покрывали всю ось от –∞ до +∞, и в каждый интервал при этом попало не менее пяти значений выходной величины. Подсчитывают количество m_i, наблюдений, попавших в каждый интервал. Затем вычисляют теоретические вероятности попадания случайной величины в каждый i-й интервал. Для этого используют формулу

P = Ф(z₂) – Ф(z₁),

где

, , (1.22)

в которой – среднее арифметическое выборки; s – среднее квадратическое отклонение выборки; – нижняя граница i-го интервала; – верхняя граница i-го интервала; Ф(z) – нормированная функция Лапласа:

Ф .

Значения ее для z = z₁ и z = z₂ определяют из таблиц [9]. При отыскании значений этой функции для отрицательных значений аргумента следует иметь в виду, что функция Ф(z) нечетная:

Ф(–z) = – Ф(z).

Следующим этапом является вычисление величины по формуле

= . (1.23)

По выбранному уровню значимости q и числу степеней свободы k = l – 3 из статистических таблиц приложения 4 отыскивают Гипотезу о нормальности распределения можно принять, если <