6. Приклади апроксимації процесу

Приклад 2.1. Апроксимувати процес відрізком узагальненого ряду Фур’є (2.13) за системою ортогональних функцій , отриманих в прикладі 1.2:

.

Записати аналітичний вираз для апроксимуючого процесу .

Розв’язок

Апроксимувати процес означає представити його у вигляді (2.13).

Очевидно, що інтервал ортогональності функцій співпадає з інтервалом, де процес (рис. 2.2), тобто функції можуть бути використані для апроксимації заданого процесу .

Рис. 2.2

Обчислимо коефіцієнти за формулою (2.3). Для коефіцієнта скалярний добуток дорівнює

.

Квадрат норми функції був знайдений раніше в прикладі 1.2 і дорівнює

.

Таким чином, коефіцієнт дорівнює

.

Коефіцієнти та обчислюються аналогічно та дорівнюють

, .

Запишемо в явному вигляді вираз (2.13) з урахуванням знайдених коефіцієнтів та заданих функцій

.

Приклад 2.2. Використати для апроксимації процесу

ортогональну систему прикладу 2.1

На рис. 2.3 побудований графік заданого процесу .

Розв’язок

Коефіцієнти обчислюються аналогічно прикладу 2.1. В результаті обчислень отримаємо наступні значення коефіцієнтів :

Рис. 2.3

, , .

Таким чином, апроксимація процесу виразом (2.13) має вигляд

.

На рис. 2.4 наведені амплітудні спектри процесів (а) та (б).

З графіків видно, що з трьох розрахованих нами коефіцієнтів ряду основний внесок дає другий коефіцієнт.

а б

Рис.2.4

Приклад 2.3. Побудувати графіки апроксимуючих процесів та знайти похибки апроксимації для процесів прикладів 2.1. та 2.2.

На рис. 2.5 наведені графіки окремих спектральних складових та процесу та апроксимуючого процесу для .

а б

Рис.2.5

На рис.2.6 наведені аналогічні графіки для процесу .

а б

Рис. 2.6

З рис. 2.5 видно, що заданий процес та його апроксимація суттєво відрізняються один від одного. Це свідчить про те, що трьох складових ряду Фур’є для апроксимації даного процесу недостатньо.

З рис. 2.6 видно, що при апроксимації процесу функцією , вже дві складові ряду Фур’є забезпечують достатньо точну апроксимацію.

Кількісно відмінність між заданим процесом та його апроксимацією можна знайти, обчисливши відносну похибку апроксимації за формулою (2.16). Для представлення похибки у відсотках перепишемо вираз (2.16), враховуючи, що процеси, які розглядаються, та відповідні коефіцієнти Фур’є являються дійсними:

. (2.17)

Обчислимо відносні похибки апроксимації (2.17) для процесу .

Енергія процесу дорівнює

.

Знаходимо відносні похибки апроксимації при різній кількості складових ряду Фур’є.

При

.

При

.

При

.

Результати обчислень зведемо в табл. 2.1.

Таблиця 2.1

	1	2	3
, %

Аналіз табл. 2.1 показує, що при збільшенні кількості складових узагальненого ряду Фур’є похибка апроксимації зменшується. Однак для апроксимації прямокутного відеоімпульсу трьох складових ряду недостатньо (в інженерній практиці похибка апроксимації не повинна перевищувати 10 %).

Велику похибку апроксимації процесу можна пояснити не тільки малою кількістю складових, але й тим, що задана функція має точки розриву, а функції являються неперервними.

Для зменшення похибки апроксимації необхідно або враховувати більшу кількість складових ряду Фур’є, або використовувати інший ортогональний базис.

Неважко перевірити, що для прямокутного відеоімпульсу більш підходить ортогональна система, що отримана в прикладі 1.1. При її використанні , тобто апроксимація здійснюється без похибки.

Аналогічно визначимо відносні похибки апроксимації процесу та зведемо результати в табл. 2.2.

Таблиця 2.2

	1	2	3
, %

З отриманих результатів видно, що з інженерної точки зору для апроксимації процесу достатньо трьох складових.