Теоретичні відомості Статистичний зв’язок між двома параметрами.

Узагальнення експериментальних даних при проведенні технологічних дослідів зводиться до наступних основних етапів: по-перше, дослідні дані представляються в табличній і графічній формах; по-друге, дослідні дані аналізуються для встановлення основних закономірностей розвитку досліджуваних явищ і процесів, розкриття їх фізичної сутності (побудування фізичної моделі); по-третє, знаходять математичне вираження основних закономірностей (будується математична модель); в четвертих, проводиться теоретичне узагальнення і даються рекомендації до практичного застосування результатів дослідного матеріалу.

Нехай було проведено n незалежних дослідів, в результаті яких отримано n пар чисел (Х₁,У₁),(Х₂,У₂)...(Х_n,У_n).

Керуючись термінологією теорії ймовірності, зафіксовані пари чисел потрібно розглядати як довільну вибірку з генеральної сукупності усіх можливих значень випадкової величини (Х,У), а величини і знайдені по них рівняння потрібно іменувати вибірковими.

В кореляційному аналізі ставиться задача вивчити декілька тісно пов’язаних випадкових величин і їх взаємодію. Величини Х і У можуть бути пов’язані функціональною залежністю. В цьому випадку значенню Х відповідає певне значення У. За умови статистичного зв’язку для кожного інтервалу значень Х має місце визначене розподілення значень У. Наприклад, зусилля різання при знятті визначеного припуску на різних заготовках буде коливатися в залежності від їх твердості, еліптичності і т.п.

Щоб оцінити характер зв’язку параметрами У і Х розраховується умовна середня У_х при визначених значеннях Х. Зв’язок У_х з Х називається кореляційним зв’язком.

Найбільш важливою задачею кореляційного аналізу є вивчення залежності умовних середніх У_х від Х.

Якщо має місце незначне відхилення точок від прямої, то можна вважати, що в даному випадку має місце прямолінійний кореляційний зв’язок, тобто залежність:

Але часто зустрічаються і криволінійні кореляційні зв’язки. Рівняння

називається рівнянням регресії У на Х.

Фактичні значення У відрізняються від обрахованих по рівнянням тим більше, чим більший їх розкид. При кореляційному зв’язку щільність залежності параметрів Х і У вимірюється лінійним коефіцієнтом кореляції r.

Граничні значення коефіцієнта кореляції коливаються від 0 до 1. При знаку “+” існує пряма залежність, при знаку “ – ” обернена. При r=0 лінійний зв’язок відсутній, але нелінійний кореляційний зв’язок може існувати.

Розрахункові формули

Якщо залежність між Х і У близька до лінійної, то невідомі коефіцієнти а і b потрібно підібрати так, щоб пряма

(2.1)

лежала якнайближче до кожної з нанесених точок.

Для вирішення поставленої задачі скористаємося найбільш поширеним на практиці методом найменших квадратів. З цією метою проведемо ординати точок У_і до їх перетину з шуканою прямою, відмічаючи, що значення цих ординат буде , відстань по ординаті від точки Х_і до прямої . Припустимо, що напрямок прямої буде найкращим в тому випадку, коли сума квадратів усіх відстаней буде мати мінімальне значення.

Мінімум даної суми знаходиться по правилам диференціального числення, на основі застосування яких коефіцієнти а і b виражаються рівняннями:

(2.2)

(2.3)

де n – число спостережень.

Додавання проводиться по усім точкам.

При обробці експериментальних даних в області різання металів і технології машинобудування часто доводиться мати справу зі степеневою функцією виду

. (2.4)

При визначенні коефіцієнтів с і d степеневої функції також використовується метод найменших квадратів з приведенням рівняння (1) до лінійного вигляду за допомогою логарифмування по формулам:

(2.5)

(2.6)

(2.7)

(2.8)

. (2.9)

Для оцінки ступеня розсіювання фактичних значень у від обчислених по рівнянню (1) при числі дослідів менше 25, коефіцієнт кореляції розраховують по формулі

. (2.10)

Коефіцієнт кореляції для степеневих залежностей (рівняння 4) визначається за формулами:

(2.11)

. (2.12)

Дисперсія коефіцієнтів а і b визначається по формулам:

; (2.13)

; (2.14)

; (2.15)

95-% довірча ймовірність дорівнює подвоєній середньоквадратичній похибці:

; (2.16)

. (2.17)

Для степеневої залежності:

; (2.18)

. (2.19)

Порядок виконання роботи

1. Скласти таблицю вихідних даних:

   № п/п	Хі	Уі
   1 2 . .	.... .... .... ....	.... .... .... ....

2. Нанести експериментальні точки на графік.

3. По експериментальним даним визначити параметри рівнянь регресії, коефіцієнти кореляції (10), довірчі інтервали і довірчий інтервал для 95 - % ймовірності (16,17) (2 графіка для лінійної, інший – для степеневої функції). Результати розрахунків занести в таблицю.

Результати розрахунків

а	b	c	d	r	rлог	Δa	Δb	Δc	Δd	рівняння
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11

Лабораторна робота №3

Тема: Застосування дисперсійного аналізу в розрахунках з технології машинобудування

Мета роботи: ознайомити студентів з методами розрахунку впливу різних факторів на результати обробки. При виконанні роботи вирішуються наступні питання:

1. Визначається середня точність, вибіркове стандартне відхилення, вибіркова дисперсія.

2. Розраховуються довірчі інтервали результатів експерименту.

3. Перевіряються значення вихідних даних.

Дисперсійний аналіз – це статистичний метод оцінки результатів спостережень, які залежать від різних, одночасно діючих факторів і оцінка впливу цих факторів.

Факторами називають зовнішні дії (явища), які впливають на експеримент. Наприклад, декілька верстатів в цеху паралельно виконують одну операцію. Для правильного планування послідуючої обробки, необхідно знати наскільки однотипні розміри деталей, отримані на різних верстатах. Тут має місце лише один фактор, який впливає на розмір деталі – верстати, на яких вони виготовляються.