3.1 Розрахункові формули однофакторного аналізу
3.1.1Середнє арифметичне значення, вибіркова дисперсія, вибіркове стандартне відхилення
Неточність обробки являється наслідком ряду факторів. Деякі із них викликають систематичні похибки, другі – випадкові. Для виявлення закономірностей обробки користуються методами математичної статистики.
При
оцінці результатів вимірювання
підраховують середнє арифметичне
значення
,
вибіркову дисперсію
,
вибіркове стандартне відхилення S.
;
(3.1)
Приклад:
При шліфуванні валів на напівавтоматі отримані наступні діаметри: 112,25; 112,36; 112,32; 112,21; 112,3; 112,36 мм.
Знайти вибіркову дисперсію і стандартне відхилення
S = 0.06; V = 0,00364.
При великій кількості вимірювань ( n › 25) дисперсія випадкової вибірки в середньому рівна σ2 і σ – середнє квадратичне відхилення аргумента.
Точність вимірювань підвищується із збільшенням кількості вимірювань. При збільшені числа вимірювань n стандартна помилка середньої σm обернено пропорційна квадратному кореню із числа спостережень:
(3.2)
σ1 = σ
Середня точність. Якщо беруть середнє вимірювань, то генеральна середня μ знаходиться в межах:
μ =
±
1,96
із 95% ймовірністю (3.3)
μ = ± 2,58 із 99% ймовірністю (3.4)
Труднощі полягають в тому, що стандартне відхилення генеральної сукупності, зазвичай, невідоме, воно може бути лише наближено визначене для скінченного числа вимірювань за допомогою вибіркового стандартного відхилення S. Ці труднощі долають з використанням величини t (відомої як критерій Стьюдента), яка визначається за формулою:
(3.5)
Величина t виражає ефект впливу кінцевого значення n. Значення t можуть бути знайдені в таблицях для відповідного числа спостережень n або числа ступенів вільності n – 1 і для різних рівнів довірчої ймовірності.
Для незалежних вимірювань при гаусівському розподіленні довірчі інтервали середньої величини можуть бути записані як:
(3.6)
3.2 Точність стандартного відхилення.
Для отримання міри точності стандартного відхилення розраховують величину:
. (3.7)
Значення q перемножують на вказані в таблиці 1 коефіцієнти області найбільшої густини для відповідного числа ступенів вільностей і прийнятого рівня довірчої ймовірності. Крива розподілу (апостеріорна густина) показана таким чином, що цей інтервал більший з однієї сторони стандартного відхилення, ніж з другої, та низькі значення стандартного відхилення менш достовірні, ніж високі.
Таблиця 3.1 - Значення t для різних рівнів довірчої ймовірності при ν ступенях вільності
Число ступеней вільності(ν=n–1) |
Значення t при довірчих ймовірностях, % |
||
90 |
95 |
99 |
|
2 |
2,920 |
4,303 |
9,925 |
3 |
2,353 |
3,182 |
5,841 |
4 |
2,132 |
2,766 |
4,604 |
5 |
2,015 |
2,571 |
4,032 |
6 |
1,943 |
2,447 |
3,708 |
7 |
1,895 |
2,365 |
3,500 |
8 |
1,860 |
2,306 |
3,355 |
9 |
1,833 |
2,262 |
3,205 |
10 |
1,812 |
2,228 |
3,169 |
15 |
1,753 |
2,131 |
2,947 |
20 |
1,825 |
2,086 |
2,845 |
25 |
1,708 |
2,060 |
2,787 |
30 |
1,645 |
1,960 |
2,576 |
Таблиця 3.2 - Коефіцієнти областей найбільшої густини, які використовуються разом з q для ν ступеней вільності при різних рівнях довірчої ймовірності
Число ступеней вільності |
Коефіцієнти областей найбільшої густини при різних рівнях довірчої ймовірності, % |
|||||
90 |
95 |
99 |
||||
a |
b |
a |
b |
a |
b |
|
1 |
0,38 |
11,29 |
- |
- |
- |
- |
2 |
0,49 |
3,81 |
0,45 |
5,44 |
0,38 |
12,25 |
4 |
0,59 |
2,21 |
0,55 |
2,69 |
0,48 |
4,13 |
9 |
0,70 |
1,59 |
0,66 |
1,77 |
0,59 |
2,22 |
19 |
0,78 |
1,35 |
0,75 |
1,44 |
0,69 |
1,64 |
39 |
0,84 |
1,22 |
0,81 |
1,27 |
0,76 |
1,39 |
3.3 Перевірка значимості початкових даних
Статистичні методи часто використовують для того, щоб отримати позитивну або негативну відповідь на конкретне питання, яке стосується значимості даних. Відповідь визначається довірчою ймовірністю, яка вказує ступінь визначеності відповіді. Цей метод відомий як метод перевірки гіпотези.
Звичайний метод полягає в створені нуль-гіпотези, яка встановлює, що немає ніякої значимої різниці між двома рядами даних або в припущенні, що досліджувана змінна впливає на них. Щоб отримати позитивну або негативну відповідь, вибирають, наприклад, довірчу ймовірність 95 або 99 %. До вибору рівня значимості слід підходити дуже уважно. Якщо вибирають дуже високу довірчу ймовірність (наприклад, 99.9% ), то можна пропустити значний вплив вивчаючої змінної. Таку помилку називають α або помилкою І типу. З іншої сторони, якщо допустити дуже малу довірчу ймовірність (наприклад, 80%), важливою може бути визнана незначна різниця. Це помилка β або помилка ІІ типу.