2.3. Решение нелинейных уравнений.

Нелинейные уравнения – это алгебраические или трансцендентные уравнения вида

. (1)

Значения , которые обращают функцию в нуль, называются корнями уравнения.

Прежде, чем приступить к численному решению уравнения, следует провести предварительное исследование функции на предмет существования корней и их приблизительного расположения. При этом полезна известная теорема математического анализа: Если непрерывная функция принимает на концах интервала значения разных знаков, т.е. , то внутри этого интервала содержится по крайней мере один корень уравнения. Корень будет единственным, если производная существует и сохраняет постоянный знак внутри интервала . Если корней несколько, то их нужно отделить. Отделение корней – это нахождение более мелких интервалов , каждый из которых содержит один единственный корень.

Для численного решения нелинейных уравнений применяются итерационные методы, основанные на переходе от уже известного приближения для корня к новому приближению . Эти методы позволяют при достаточно большом числе итераций найти корень с заданной точностью . Если существует и выполняется (1) , то говорят, что итерационный процесс сходится, в противном случае – итерационный процесс расходится.

Одним из важнейших методов решения нелинейных уравнений является метод простых итераций / метод последовательных приближений /. В методе простой итерации уравнение приводится к виду

. (2)

Пусть - некоторое начальное приближение для корня. Тогда в (2) последовательные итерации задаются формулой

(3)

Начальное приближение для корня находится или же из физических соображений или с помощью грубого исследования функции. Итерационный процесс (3) продолжается до тех пор, пока два последовательных приближения не станут отличаться друг от друга меньше, чем на :

. (4)

Пусть функция определена и дифференцируема на и все значения . Тогда, если на , то последовательность (3) сходится к единственному решению уравнения (2) при любом начальном приближении . Если на , то итерационный процесс расходится на . Если же в одних точках , а в других точках , то итерационный процесс на этом интервале может сходится, а может расходится.

Итак, достаточным условием сходимости итерационного процесса , (2) является выполнение неравенства при всех значениях , вычисляемых в ходе решения задачи.

Представление уравнения (1) в виде (2) не является единственным. Следует выбирать такое представление , чтобы . При этом, чем меньше , тем выше скорость сходимости итераций. Если корней несколько, то для каждого из интервалов, содержащих единственный корень, может понадобится свое представление функции .

Например, уравнение имеет два корня, в чем легко убедиться, построив графики функций и . Первый из этих корней лежит в интервале , а второй – в интервале . Для определения первого корня записываем исходное уравнение в виде , т.е. , производная функции - . На интервале . В качестве начального приближения можно выбрать . Метод простой итерации дает Точность корня определяется величиной (4). Для нахождения второго корня представляем исходное уравнение в виде , т.е. , производная - . На интервале также, как и в предыдущем случае . В качестве начального приближения можно взять . Метод простой итерации дает

Метод простой итерации имеет простую геометрическую интерпретацию. Изобразим на графике кривую и прямую . Точки пересечения этих линий и соответствуют корням уравнения . Пусть на чертеже имеется точка . Проведем из нее горизонтальную прямую до ее пересечения с прямой , а из точки пересечения – вертикальную линию до пересечения с кривой . В результате получим точку .

Рис.1 а)-г) иллюстрируют возможный различный характер поведения последовательных приближений в случаях: а) – монотонной сходимости к решению при , б) – колебательного характера сходимости при , в) и г) – расхождении итерационного процессе при .

Эффективным методом повышения точности результатов и ускорения сходимости является метод Ньютона / метод касательных /.

Итерационная последовательность в методе Ньютона строится по формуле

. (5)

Пусть функция определена и дважды дифференцируема на интервале , причем , а производные и отличны от нуля и сохраняют знак в интервале . Тогда интерполяционная последовательность сходится к единственному на интервале решению уравнения (1), если начальное приближение удовлетворяет неравенству .

Если какое-либо из перечисленных условий не выполняется, то итерационный процесс может сходиться, а может и расходиться. В частности, если нарушается условие , то процесс может все равно сходиться, но это плохое начальное приближение. В этом можно убедиться графически. Процесс сходится тем быстрее, чем больше ( сравним с методом простой итерации! ), т.е., чем круче функция . Если в окрестности корня, то процесс сходится медленно.

Метод Ньютона имеет простую геометрическую интерпретацию (Рис.2). Через точку проведем касательную до ее пересечения с осью абсцисс. Уравнения касательной - . Точка пересечения касательной с осью абсцисс - и есть следующее приближение для корня .

Метод Ньютона сходится гораздо быстрее, чем метод простой итерации. Однако на практике используется и тот и другой. Дело в том, что при использовании метода Ньютона требуется вычислять не только функцию, но и ее производную. Эти вычисления могут оказаться очень трудоемкими.

При решении нелинейных уравнений может использоваться также метод половинных делений / метод дихотомии /. Метод применяется для непрерывной функции , принимающей на концах интервала значения разных знаков. При этом дифференцируемости функции не требуется. Отрезок делится пополам. В средней точке , которая может рассматриваться как первое приближение для корня, вычисляется значение функции - . Если , то выбирается тот из интервалов или , на концах которого значения функции различны по знаку. Процесс продолжается до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше . Тогда координата середины последнего отрезка и есть корень с заданной точностью. Следует иметь в виду, что шагов деления уменьшают интервал в раз, так 10 шагов уменьшают исходный интервал приблизительно в 1000 раз, т.е. скорость сходимости невелика. Однако в отличие от метода простой итерации и метода Ньютона здесь гарантируется нахождение корня для любых функций, в том числе и для не дифференцируемых. Если на находится несколько корней, то будет найден только один из них. При этом кратные четные корни определить нельзя.

Еще один метод - метод пропорциональных частей / метод хорд / является усовершенствованием метода половинного деления. В этом методе отрезки делятся не пополам, а хордой, проходящей через точки и . Точка пересечения хорды с осью абсцисс

дает первое приближение для корня. Далее этот же прием применяется к отрезку или , на концах которого функция имеет противоположные знаки, и т.д., пока два последовательных приближения для корня не станут отличаться меньше, чем на. Геометрическая интерпретация метода хорд показана на рис.3.

Задание

1. Напишите процедуры для нахождения корней уравнения методом простой итерации (SITER) и методом Ньютона (NEWTON). Исходные параметры для процедур - начальное приближение , точность , максимальное число итераций, имена процедур-функций, в которых вычисляются , , , а также признак, позволяющий судить о том, найден корень или нет. Выходными данными являются значение корня и число итераций.

2. Напишите программу, содержащую обращение к процедурам SITER и NEWTON. Составьте процедуры функции для вычисления конкретных функций. Сравните требуемой число итераций в методе простой итерации и методе Ньютона. Используйте программы для решения уравнений вида:

; ;

; .

Предварительно необходимо отделить корни, проверить все условия сходимости для данного метода, выбрать «хорошее» начальное приближение для корня. Значения точности следует задавать в разумных пределах не выше погрешности вычислений.