2.3. Решение систем нелинейных уравнений.

Если сравнивать скорости сходимости различных методов, то можно отметить, что метод Ньютона сходится значительно быстрее, чем другие методы. Это его свойство является одной из причин тог, что метод Ньютона считается наилучшим методом общего назначения для решения нелинейных уравнений. Однако, как и всем итерационным методам, ему свойственны ограничения: даже, если метод сходится к решению, то нельзя сказать, единственное ли это решение или он сходится к частному решению, а уравнение имеет много решений.

Учитывая выше сказанное, для решения системы из нелинейных уравнений приведем описание метода Ньютона; - мерный вариант метода обычно называют методом Ньютона-Рафсона.

Рассмотрим систему нелинейных уравнений с переменными :

(1)

Обозначим вектор функций , а вектор переменных . Тогда систему уравнений (1) можно записать в компактной форме вида

(2)

Предположим, что система уравнений имеет решение . Разложим каждую функцию в ряд Тейлора в малой окрестности решения

, .

Пренебрегая членами разложения более высокого порядка, получим

(3)

- (4)

Матрица Якоби функции или якобиан.

Если в (3) приближенное равенство заменить на точное, то будет иметь смысл приближенного значения корня, т.к. мы пренебрегли членами разложения более высоких порядков. Введем верхний индекс для обозначения последовательных итераций, тогда из (3) получим

. (5)

В результате алгоритм Ньютона-Рафсона для системы уравнений представляется формулой

.

Опечатка! Здесь вместо М должна быть матрица, обратная к М! (6)

Как видно из (6), метод Ньютона-Рафсона имеет дополнительный недостаток, заключающийся в необходимости вычисления якобиана (4).

Задание

Составьте программу NEWTON для решения системы нелинейных уравнений. Найдите решение следующих систем. Используйте различные начальные приближения и проследите за сходимостью.

1. 4.

2. 5.

3. 6.

Опечатка в последней системе: скорее всего х₂-х₁-1=0,

Тогда точное решение (1;2)

2.4. Дифференциальные уравнения.

Задача решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка состоит в нахождении функции , удовлетворяющей этому уравнению при заданном начальном условии на отрезке . Однако в явном виде решение дифференциального уравнения удается найти редко. Поэтому широко используются для решения численные методы. При численном решении уравнения искомая функция находится в виде таблицы значений ,

Одноступенчатые методы позволяют по известному значению функции в точке найти приближенное значение функции в точке . Т.е. в одношаговых методах используется информация только об одной предыдущей точке и значит, применяя данный метод необходимое число раз, последовательно находят значения и т.д. К одношаговым методам относятся методы Рунге-Кутта различного порядка.

Многошаговые методы для вычисления используют информацию о функции и её производных в нескольких ранее вычисленных точках. Если задано только одно начальное значение , то недостающие для применения многошагового метода начальные значения находят с помощью одного из одношаговых методов. К многошаговым методам относятся метод Адамса, некоторые типа прогноза и коррекции и др.

Простейший метод численного решения уравнения может быть получен исходя из разложения функции в ряд Тейлора в окрестности точки . Ограничившись двумя членами разложения и учитывая, что имеем расчетную формулу Эйлера

,

Формула Эйлера имеет первый порядок точности, поскольку согласуется только с членами порядка в разложении Тейлора. На практике данный метод применяется не широко из-за неустойчивости и больших погрешностей.

Более точной является формула Эйлера с пересчетом (исправленный метод Эйлера):

,

,

.

Метод согласуется с разложением в ряд Тейлора до членов степени . Значит порядок точности данного метода .

Обе приведенные формулы являются частными случаями семейства методов Рунге-Кутта, описываемых соотношениями

, , .

При этом коэффициенты , , определяются из требования обеспечения наибольшей точности для функций заданного класса.

Самым известным из одношаговых методов является метод Рунге-Кутта 4-го порядка, обладающий высокой устойчивостью:

,

, ,

, .

Порядок точности данного метода . В частном случае, когда функция зависит только от , метод Рунге-Кутта переходит в формулу Симпсона для вычисления интеграла.

Процесс решения уравнения методом Рунге-Кутта 4-го порядка можно представить геометрически следующим образом. В точке вычисляется тангенс угла наклона , используя его, передвигаемся на полшага в точку и вычисляем тангенс угла наклона в этой точке. Используя новый тангенс угла наклона, опять идем из на полшага в точку и снова вычисляем тангенс угла наклона. Затем из точки делаем полный шаг, и в точке вычисляем четвертое значение тангенса наклона. После этого усредняем все четыре значения тангенса угла наклона с весовыми коэффициентами , , , , и беря это среднее значение тангенса угла наклона, делаем окончательно шаг от точки в точку .

В методах Рунге-Кутта не используется информация о предыдущих значениях функции и её производных, а для продвижения на один шаг приходится вычислять значения в нескольких промежуточных точках. Кроме этого, отсутствует эффективный контроль точности получаемых результатов.

Поэтому наряду с методами Рунге-Кутта применяются методы типа прогноза и коррекции. Это многошаговые методы, в которых используются старые значения , , , … и , , , …

Формулы прогноза получаются при замене функции каким-либо интерполяционным полиномом, проходящим через несколько найденных ранее точек, т.е. на интервале производится экстраполирование . Общий вид формул прогноза:

.

Простейшим примером формулы прогноза может служить

.

Формулы коррекции получаются при интерполировании функции на интервале . При этом вычисление значения производится при .

В общем виде формулы коррекции записываются следующим образом

.

Простейшая формула коррекции имеет вид

.

Значение может уточняться в формуле прогноза несколько раз, пока не будет достигнута необходимая точность.

Среди методов прогноза и коррекции наиболее известен метод Адамаса-Башфорта

,

,

и метод Милна

,

.

Неудобным свойством методов прогноза и коррекции является то, что с их помощью нельзя начать решение, имея только одну точку, определяемую начальными условиями. На начальном участке приходится обращаться к методу Рунге-Кутта.

Задание

1. Напишите процедуру RUNKUT, осуществляющую печать таблицы значений решения дифференциального уравнения вида . Входные параметры процедуры: имя процедуры функции, осуществляющей вычисление , начальные условия , конечное значение .

2. Используйте процедуру RUNKUT для нахождения численного решения следующих уравнений:

, . Точное решение .

Ошибка:если y(1)=0,то !!!

Указанное решение соответствует условию y(0)=0

, . Точное решение .

, . Точное решение .

, . Точное решение .