Відношення подільності многочленів над полем р має такі властивості:

1) [  ;

2) [   (  ) ];

3) [  P ];

4) [ c];

5) [   P [x] = c ];

6) [   c ];

7) [ … 

 [( + … + ) ].

Означення 13. У кільці Р[x] многочлени і асоційовані, якщо вони відрізняються лише множником, який є відмінною від нуля константою:

.

Теорема 1. Довільний многочлен Р[x] ділиться з остачею на будь-який многочлен Р[x],  0; при цьому частка і остача належать Р[x] і визначаються однозначно, тобто

, причому або deg < deg , де

-ділене, - дільник, - частка, - остача.

Для знаходження частки і остачі від ділення многочлена на над полем Р використовують різні методи: ділення “кутом”, метод невизначених коефіцієнтів, табличні схеми.

Приклади розв’язування задач.

1.1. Знайти всі цілі числа і , при яких многочлен є квадратом деякого многочлена з кільця , та записати многочлен .

Розв’язання.

Многочлен має степінь 4. Тому степінь шуканого многочленна

(якщо він існує!) рівна 2. Нехай і . Запишемо многочлен у канонічній формі:

.

Так як ці многочлени рівні, то маємо систему рівнянь:

З першого і останнього рівнянь системи знаходимо, що .Це означає, що система рівна сукупності чотирьох систем:

Отже, при і многочлени і мають вигляд:

При і отримуємо такі многочлени:

1.2. Довести, що з функціональної точки зору наступні многочлени дорівнюють один одному: з кільця .

Розв’язання.

- остачі від ділення на 3 (лишки за модулем 3).

З функціональної точки зору многочлени рівні, якщо рівні між собою функції _f і _g , які вони визначають, тобто, якщо функції набувають однакових значень при однакових лишках:

Отже,

1.3. Знайти суму коефіцієнтів многочлена: у кільці .

Розв’язання.

Сума коефіцієнтів дорівнює значенню многочлена при .

1.4. Знайти остачу від ділення на у кільці Z[x].

Розв’язання.

Для многочленів i в кільці Z[x] застосуємо теорему про ділення з остачею. Тоді існують такі многочлени i , що

= + i deg < 2. Тоді

Тому можемо записати таку рівність:

.

Враховуючи, що g (-1) = g (1) = 0, то підставивши ці значення замість у рівність матимемо:

Тому = + 2.

1.5. Остачі від ділення многочленів на в кільці Q[x] відповідно дорівнюють , Знайти остачу від ділення многочлена на g (x).

Розв’язання.

За теоремою про ділення з остачею маємо:

Запишемо умову задачі згідно цих розкладів:

Звідси маємо, що шукана остача .