Виконуються такі рівності:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Якщо поле Р має характеристику 0, то для кожного многочлена з кільця такого, що , виконується рівність .

Для того, щоб многочлен не мав кратних множників, необхідно і достатньо, щоб многочлен був взаємно простим зі своєю похідною .

Теорема 6. Для того, щоб був коренем кратності многочлена , необхідно і достатньо, щоб , тобто щоб .

Відокремлення кратних множників.

Представляємо многочлен у вигляді добутку ,

де – добуток незвідних множників з певною кратністю. Знаходимо похідну многочлена , де не ділиться на . Найбільший спільний дільник є добутком усіх множників, які входять у розклади як так і :

Знайдемо , де ₂ не ділиться на

Далі .

Аналогічно

...........................................

тут (і = 1,...,m) не містять множників . Тепер треба знайти кожен множник окремо, тому поділимо на , отримаємо:

......................................

звідси маємо формули для : .

Приклад. Алгоритм відокремлення кратних множників:

.

Знаходимо похідну многочлена :

За алгоритмом Евкліда знаходимо НДС многочленів і

x³ - 3x² + 4 |3x² - 6x 3x² - 6x |-6x + 12

3x³ - 9x² + 12 |x - 1 6x² - 12x | -x

3x³ - 6x² 6x² - 12x

_ - 3x² + 12 0

- 3x² + 6x

-6x + 12

НДС =

x³ - 3x² + 4 |-6x + 12 x² - x - 2 |-6x + 12

6x³ + 18x² - 24 |x² - x - 2 -6x² + 6x + 12 |x + 1

6x³ + 12x² -6x² + 12x

_ 6x² - 24 -6x + 12

6x² - 12x -6x + 12

12x - 24 0

12x - 24

0

Знаходимо

Відповідь:

Приклади розв’язування задач.

3.1. Довести, що многочлен незвідний в .

Розв’язання.

Многочлен є звідним у полі , якщо його можна розкласти в добуток не менше як двох многочленів ненульового степеня з кільця .

коренів немає, тому в полі цей многочлен незвідний.

3.2. Розкласти многочлен на незвідні множники в полі , якщо відомо, що цей многочлен має два корені, які є протилежними елементами в .

Розв’язання.

В є такі елементи : . Протилежними коренями є .

Так, як - многочлен третього степеня, то

Прирівнюємо відповідні коефіцієнти:

тому .

3.3. Розкласти на незвідні множники в полі многочлен , якщо .

Розв’язання.

Це симетричний многочлен, тому винесемо за дужки :

Нехай , тоді

3.4. Знайти кратність кореня многочлена

з кільця .

Розв’язання.

Для цього використаємо схему Горнера:

	1	-6	10	-6	9
3	1	-3	1	-3	0
3	1	0	1	0
3	1	3	10

- корінь кратності 2

3.5. Відокремити кратні кoрені многочлена .

Розв’язання.

Знаходимо похідну многочлена f(x) і шукаємо їх НСД:

x⁵ -ix⁴ + 5x³ - ix² + 8x + 4i | 5x⁴ - 4ix⁴ + 15x³ - 2ix + 8

5x⁵ - 5ix⁴ + 25x³ - 5ix² + 40x + 20i | x - i

5x⁵ - 4ix⁴ + 15x³ - 2ix + 8x

-ix⁴ + 10x³ - 3ix² + 32x + 20i

-5ix⁴ + 50x³ - 15ix² + 160x + 100i

-5ix⁴ - 4x³ - 15ix² - 2x - 8i

54x³ + 162x + 108i

5x⁴ - 4ix⁴ + 15x³ - 2ix + 8 | x³ + 3x + 2i

5x⁴ + 15x² + 10ix | 5x - 4i

-4ix³ - 12ix + 8

-4ix³ - 12ix + 8

0

Отже

x³ + 3x + 2 | 3x² + 3 3x² + 3 | 6x + 6i

3x³ + 9x + 6i | x x² + 1 | x + i

3x³ + 3x x² + ix | x - i

6x + 6i -ix + 1

-ix + 1

0

Знаходимо :

3x² + 3 | 6x + 6i

x² + 1 | x + i

x² + ix | x - i

_-ix + 1

-ix + 1

0

обчислимо многочлени

x⁵ - ix⁴ + 5x³ - ix² + 8x + 4i | x³ + 3х + 2i x³ + 3x + 2i | x + i

x⁵ + 3x³ + 2ix² | x² - ix + 2 x³ + ix² | x² - ix + 2

-ix⁴ + 2x³ - 3ix² + 8x + 4i -ix² + 3x + i2

-ix⁴ - 3ix² + 2x -ix² + x

2x³ + 6x + 4i 2x + 2i

2x³ + 6x + 4i 2x + 2i

0 0

x² – ix + 2 | x + i

x² + ix | x + 2i

-2ix + 2

-2ix +2

0

Тепер знайдемо .

Таким чином маємо: .

3.6. Довести, що многочлен звідний у полі Z.

Розв’язання.

Якщо многочлен звідний у полі Z, то його можна розкласти на добуток не менше як двох многочленів ненульового степеня з кільця Z[x].

Щоб розкласти многочлен на множники, застосуємо метод невизначених коефіцієнтів. При цьому розглянемо єдиний випадок можливого розкладу: один множник першого степеня, а другий другого степеня.

Нехай .

Тоді з рівності

маємо систему:

Розвязуючи цю систему з першого рівняння маємо, що , а з останнього: або . Розглянемо кожну з чотирьох отриманих систем:

Бачимо, що сумісними є дві системи: 1) і 4), тому маємо два розвязки: або .

3.7. Розкласти многочлен за степенями двочлена і знайти , якщо належить Q[x] і  = 1.

Розв’язання.

I спосіб. Знаходимо похідні многочлена :

Тоді

Щоб знайти розклад многочлена за степенями двочлена , застосуємо формулу Тейлора, яка справджується для многочленів над полем характеристики 0:

Оскільки то

ІІ спосіб. Знайдемо розклад многочлена за степенями двочлена , застосувавши для знаходження коефіцієнтів розкладу схему Горнера:

	1	-2	3	-5	1
1	1	-1	2	-3	-2=
1	1	0	3	-1=
1	1	1	3=
1	1	2=
1	1=

Отже,