Вероятность произведения двух зависимых событий
Определение. Событие называется зависимым от события , если вероятность наступления события зависит от того, произошло событие или нет.
Пример.
В урне 2 белых и 3 черных шара. Два лица
извлекают из урны по одному шару. Событие
- появление белого шара у первого лица,
событие
- появление белого шара у второго лица.
Первым извлекает шар первое лицо, вторым
– второе. Тогда
;
.
Вероятность события
зависит от того, произошло событие
или нет, т.е. событие
зависит от
события
.
Определение.
Вероятность
события
,
вычисленная при условии что, имело место
другое событие
,
называется условной
вероятностью события
и обозначается
или
.
Теорема. Вероятность произведения двух зависимых событий и равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие произошло, т.е.
Замечание. Так
как
,
то
и
.
Теорема умножения вероятностей может быть обобщена на случай произвольного числа событий. В общем виде она формулируется так.
Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место:
Теорема умножения вероятностей независимых событий есть частный случай теоремы умножения зависимых событий.
Пример 1. Студент успел выучить 50 из 60 вопросов, вынесенных на экзамен. Вычислить вероятность того, что студент ответит на два экзаменационных вопросов.
Решение.
Событие - студент ответит и на первый и на второй вопросы.
Событие - студент ответит на 1-ый вопрос,
.
Событие
-
студент ответит на 2 - ой вопрос, при
условии, что он уже ответил на 1 – ый
вопрос,
.
.
.
Ответ: 0,692.
Пример 2. В механизм входят три одинаковые детали. Работа механизма нарушается, если при его сборке будут поставлены все три детали размера больше обозначенного на чертеже. У сборщика осталось 15 деталей, из них 5 большего размера. Определить вероятность ненормальной работы первого собранного из этих деталей механизма, если сборщик берет детали наудачу.
Решение.
Событие - ненормальная работа первого собранного механизма.
Событие - первая деталь большего размера,
.
Событие
-
вторая деталь большего размера,
.
Событие
-
третья деталь большего размера,
.
.
.
Ответ: 0,011.
Пример 3.В группе из 1000 человек 452 имеют текущие счета, 336 - депозитные счета, а 302 - и текущие, и депозитные. Определить, являются ли события «обладание текущим счётом» и «обладание депозитным счётом» независимыми?
Решение.
1. Событие - человек обладает текущим и депозитным счетом,
Событие - человек обладает депозитным счетом,
.
Событие - человек обладает текущим счетом,
.
2.
.
3.
.
4.
Так как
,
то события
и
не являются независимыми.
Вероятность суммы совместных событий
Теорема. Вероятность суммы совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.
.
Пример 1. Известно, что курс евро к рублю может возрасти с вероятностью 0,55, а курс доллара к рублю может возрасти с вероятностью 0,35. Вероятность того, что возрастут оба курса, составляет 0,3. Найти вероятность того, что курс евро или доллара по отношению к рублю возрастёт.
Решение.
1. Событие - курс евро или доллара по отношению к рублю возрастёт,
2.
События
-
курс евро к рублю возрастёт,
,
-
курс доллара к
рублю возрастёт,
,
- оба курса к рублю
возрастут,
3.
События
и
совместные,
.
Ответ. 0,6.
Пример 2.
Вероятности попадания в цель при стрельбе
первого и второго орудий соответственно
равны:
,
.
Вычислить вероятность поражения цели.
Решение.
1.Событие - цель поражена;
2.События
-
цель поражена первым орудием,
,
-
цель поражена первым орудием,
,
- цель поражена и первым и вторым орудиями,
.
3.
события
и
совместные,
.
Или
Ответ. 0,94