2 Вероятность гипотез. Формулы Байеса
Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является теорема гипотез, или формулы Байеса.
Постановка задачи.
Имеется полная
группа несовместных гипотез
.
Событие
наступает при условии появления одного
из событий
.
Производится опыт, в результате которого
осуществляется интересующее нас событие
.
Требуется определить вероятности
гипотез
в связи с появлением события
.
Теорема гипотез. Вероятность гипотезы после испытания равна произведению вероятности гипотезы до испытания на соответствующую ей условную вероятность события, которое произошло при испытании, деленному на полную вероятность этого события:
Формулы носят название формул Байеса по имени английского математика, который их вывел. Опубликованы они в 1764 г.
Пример 1. В трех ящиках находятся однотипные изделия: в первом 10 изделий, из них 3 нестандартные, во втором 15 изделий, из них 5 нестандартных и в третьем 20 изделий, из них 6 нестандартных. Наудачу выбирается одно изделие, и оно оказалось нестандартное. Определить вероятность того, что взятое изделие принадлежало второму ящику.
Решение.
1. Событие - наудачу выбранное изделие является нестандартным;
2. Гипотезы: - взятое изделие принадлежит первому ящику,
- взятое изделие принадлежит второму ящику,
- взятое изделие принадлежит третьему ящику.
3. Вероятности гипотез:
, , , .
4. Условные вероятности события :
,
,
.
5.
.
6.
.
Ответ: 5/14.
Пример 2.
Производится сборка деталей на четырех
автоматах:
,
производительности которых относятся
как 4:3:2:1. Автомат
выпускает 90% стандартных деталей,
- 98%,
- 92%,
-
95%. Взятая наудачу деталь оказалась
стандартной. Вычислить вероятность
того, что она изготовлена на автомате
.
Решение.
1. Событие - деталь стандартна;
2. Гипотезы: - деталь собрана на автомате ,
- деталь собрана на автомате ,
- деталь собрана на автомате ,
- деталь собрана на автомате .
3. Вероятности гипотез:
,
.
4. Условные вероятности события :
,
,
,
.
6. Для автомата :
Ответ: 0,458.
7.
Для автомата
:
Ответ: 0,315
8. Для автомата :
Ответ: 0,197.
9.
Для автомата
:
Ответ: 0,102.
Пример 3. Статистика запросов кредитов в банке такова: 10% - государственные органы, 20% - другие банки, остальные - физические лица. Вероятности того, что взятый кредит не будет возвращён, составляют 0,01, 0,05 и 0,2 соответственно. Начальнику кредитного отдела доложили, что получено факсимильное сообщение о неисполнении обязательств по возврату кредита, в котором очень плохо пропечаталось имя клиента. Найти вероятность того, что кредит не возвращает какой-либо банк
Решение.
1. Событие - взятый кредит не возвращается;
2. Гипотезы:
- запрос на этот кредит поступил от государственного органа,
- запрос на кредит поступил от другого банка,
- запрос на кредит поступил от физического лица.
3. Вероятности гипотез:
,
4. Условные вероятности события :
,
,
.
6. Вероятность того, что кредит не возвращает какой-либо банк:
Ответ: 0,066.